Все значения корня

[ant8086]

Корень третьей степени из -1.

Как это можно представить в комплексном виде?
Как можно найти `все значения корня`?

Я знаю только одно, и то неправильное:
$-1^3 = (-1) (-1) (-1) = 1 (-1) = -1$

Помогите плз.

[Dan B-Yallay]

Вам нужно решить $z^3=-1$ Вот и запишите $z=a+ib$ возведите в куб и посмотрите что получится

[ShMaxG]

Лучше представить в экспоненциальной форме, я думаю. Ну или в тригонометрической -- все нагляднее выйдет.

[Dan B-Yallay]

Если бы спрашивался корень 5-й степени или выше, я бы тоже предложил использовать эти формы.
Наверное до Муавра они все-таки еще не дошли.

[ant8086]

Dan B-Yallay в сообщении #393623 писал(а):

Вот и запишите $z=a+ib$ возведите в куб и посмотрите что получится

$x^3 + x^2 y i + 2 x^2 y i - 2 x y^2 - y^2 x - y^3 i$ = -1

Страшновато выглядит! Только я всеравно не понял, как из этого сделать выводы.

-- Ср дек 29, 2010 23:40:02 --

Спасибо за ответы. Я решение нашел: http://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section4/paragraph3/theory.html.
Мне ещё много надо заданий сделать....

[ShMaxG]

ant8086

ant8086 в сообщении #393630 писал(а):

$x^3 + x^2 y i + 2 x^2 y i - 2 x y^2 - y^2 x - y^3 i = -1$

Ну, во-первых, Вы не правильно куб вычислили. Надо так: $\[{\left( {x + iy} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}iy + 3x{\left( {iy} \right)^2} + {\left( {iy} \right)^3}\]$.
Во-вторых, это Вы зря

ant8086 в сообщении #393630 писал(а):

Только я всеравно не понял, как из этого сделать выводы.

Ведь надо уравнять отдельно все действительные части в выражении, и отдельно все мнимые. Получается такая вот системка:

$\[\left\{ \begin{gathered} {x^3} - 3x{y^2} = - 1 \hfill \\ 3{x^2}y - {y^3} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

которую совсем не трудно решить.

[paha]

ShMaxG в сообщении #393634 писал(а):

Ну, во-первых, Вы не правильно куб вычислили.

он правильно вычислил, только подобные не привел

[ShMaxG]

(Оффтоп)

paha
Хм и правда... Но все равно, кто ж так куб вычисляет?

[paha]

(Оффтоп)

ShMaxG в сообщении #393637 писал(а):

Хм и правда... Но все равно, кто ж так куб вычисляет?

$(x^2+2ixy+y^2)(x+iy)$

[ShMaxG]

(Оффтоп)

Да это я понял, как он вычислял... Ну если уж не помнит человек формулу куба суммы, то уж ладно)

[ewert]

ShMaxG в сообщении #393634 писал(а):

Получается такая вот системка:

$\[\left\{ \begin{gathered} {x^3} - 3x{y^2} = - 1 \hfill \\ 3{x^2}y - {y^3} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

которую совсем не трудно решить.

Системка, конечно, правильная, только ненужная. Надо попросту разложить $z^3+1=(z+1)(z^2-z+1)$ и тупо решить квадратное уравнение.