найти общее решение дифференциального уравнения...

[Eldar]

Здравствуйте.
Задача звучит так:
"В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение уравнения:
$u_x_y+xu_x+2yu_y+2xyu=0$"
В ответах есть ответ, и указание: "обозначая $u_y+xu=v$, получить соотношение $u=v_x+2yv, (v_y+xv)_x+2y(v_y+xv)=0$"

я решаю немного подругому: пусть $q=e^-^x^yv$ тогда уравнение преобразуется в следующее: $q_x_y+q_y-q=0$ что бы решить его, ввожу $w=q_y$, получаю $w_x+yw-q=0$ что бы решить это, дифференцируем по $y$ и получаем $w_x_y+yw_y=0$ далее решаю уже это уравнение, и получаю верный ответ. НО как видно начальное условие задачи требует только существование 2ой произваодной (u принадлежит $C^2$ ) а у меня в решении появляется третья производная u ( $w_x_y$ ).
Вопрос: что делать если u только лишь из $C^2$? (имеет только вторые производные)

[moscwicz]

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

"В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение уравнения:
$u_x_y+xu_x+2yu_y+2xyu=0$

это гиперболическое уравнение в $\mathbb{R}^2$
тут или двойки не должно быть:

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

$q_x_y+2q_y-q=0$

или $y$:

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

$w_x+yw-q=0$

-- Wed Dec 29, 2010 16:14:44 --

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

НО как видно начальное условие задачи требует только существование 2ой произваодной (u принадлежит $C^2$ ) а у меня в решении появляется третья производная u ( $w_x_y$ ).
Вопрос: что делать если u только лишь из $C^2$? (имеет только вторые производные)

если у Вас адекватная начально-краевая задача, то должна быть теорема единственности, поэтому какая разница как Вы получили правильное решение
Другой вариант: приближаем начальное условие функциями $C^\infty$ и показываем, что решения сходятся к решению с начальным условием в $C^2$.

[Eldar]

Я исправил, 2ки не должно быть.
Никаких начальных условий у меня нет. Формулировку задачи я привел полностью.

[moscwicz]

Eldar в сообщении #393352 писал(а):

Я исправил, 2ки не должно быть.

всеравно чепуха написана:

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

$q_x_y+q_y-q=0$ что бы решить его, ввожу $w=q_y$, получаю $w_x+yw-q=0$

а что касается этого:

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

далее решаю уже это уравнение, и получаю верный ответ. НО как видно начальное условие задачи требует только существование 2ой произваодной (u принадлежит $C^2$ ) а у меня в решении появляется третья производная u ( $w_x_y$ ).

то способ которым Вы получаете решение не имеет значения. Вы нашли функцию, которая при подстановке в уравнение дает тождество, значит это решение. Если при подстановке в уравнение ее надо дифференцировать два раза, то не нужно требовать от нее трехкратной дифференцируемости

[Eldar]

неверно исправил, вот так должно быть: $q_x_y+yq_y-q=0$

moscwicz в сообщении #393391 писал(а):

то способ которым Вы получаете решение не имеет значения. Вы нашли функцию, которая при подстановке в уравнение дает тождество, значит это решение. Если при подстановке в уравнение ее надо дифференцировать два раза, то не нужно требовать от нее трехкратной дифференцируемости

можно об этом где-нибудь почитать? Просто странно, по ходу решения мы явно её дифференцируем 3ий раз.

[Eldar]

Вопрос в силе

[Dan B-Yallay]

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

Здравствуйте.
Задача звучит так:
"В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение уравнения:
$u_x_y+xu_x+2yu_y+2xyu=0$"
В ответах есть ответ, и указание: "обозначая $u_y+xu=v$, получить соотношение $u=v_x+2yv, (v_y+xv)_x+2y(v_y+xv)=0$"

Я только лишь получил $u=v_x+2yv$ - а дальше ступор, такое ощущение что какой-то терм пропущен. Если вы смогли дойти до соотношения

$$(v_y+xv)_x+2y(v_y+xv)=0 \qquad (A)$$

то замена $w=v_y+xv$ сводит его к

$$w_x+2yw=0.$$

Это ОДУ с разделяющимися и решается элементарно.

(Оффтоп)

Уравнение $(A)$ это то же самое что и первоначально уравнение, если только производную произведения $(xv)_x$ брать как $xv_x$ что конечно же неправильно.

Eldar в сообщении #393336 писал(а):

я решаю немного подругому:...
Вопрос: что делать если u только лишь из $C^2$? (имеет только вторые производные)

В ходе решения оговариваете, что берете третью производную формально, без всяких предположений о дифференцируемости. А затем показывете, что полученное решение имеет нужную степень гладкости $C^3$ или как там у вас обозначается.

[Eldar]

Решением будет:

$$u=e^-^x^y(\int\limits_0^y(y-\xi)e^-^x^\xi g(\xi )d\xi +yh(x)+h'(x))$$

Для того что бы u из $C^3$ надо потребовать g из $C^3$ и h из $C^4$.
Но всё же, у нас изначальное уравнение требует только u из $C^2$.
Хотя указания в ответе тоже 3ий раз дифференцируют.