С наступающим простым годом!

[bot]

Найти все целые $x$, при которых $ x^{1005}+x+1 $ делится на $ 2011.$

[Батороев]

$x=\pm 2011n-2$, где $n$ - натуральное число.

[nnosipov]

bot в сообщении #393186 писал(а):

Найти все целые $x$, при которых $ x^{1005}+x+1 $ делится на $ 2011.$

Пусть $x^{1005}+x+1 \equiv 0 \pmod{2011}$. Тогда $x \not\equiv 0 \pmod{2011}$. Значит,

$$ 1 \equiv x^{2010}=(x^{1005})^2 \equiv (x+1)^2 \pmod{2011}. $$

Отсюда $x \equiv -2 \pmod{2011}$. Осталось проверить, верно ли сравнение $2^{1005} \equiv -1 \pmod{2011}$. И оно ... верно, поскольку $(2/2011)=-1$. Итак, $x \equiv -2 \pmod{2011}$ --- единственное решение.

P.S. Между прочим, год не только простой, но ещё и не конгруэнтный

[Батороев]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #393191 писал(а):

P.S. Между прочим, год не только простой, но ещё и не конгруэнтный

А еще год обещает быть счастливым... по-московски!

[gris]

с наступлением нового тысячелетия мы, скромные любители математики, лишились одного вида задач, связанных именно с Новым Годом. Я помню, в 60-х годах с нетерпением ждал январского номера "Науки и Жизни", в котором открывался конкурс. Надо было из цифр Года составить наибольшую последовательность натуральных чисел без пропусков.
$1=-1\cdot9+6+4$
$2=1-9+6+4$
...
Бывалоча руки чешутся, но терпеливо ждёшь отмашки, а потом уже колдуешь зимними вечерами с факториалами да корнями, плюсами да минусами, ищешь представление какого-нибудь неподдающегося 87. А жена ворчит, очки прячет, ёлка ещё стоит наряженная и такое благолепие...

А что сейчас?
$1=2+0-1\cdot1$
$9=20-11$
Ну как-то даже и не так... Интересно, какой Год будет первым из плодотворных?

С Наступающим!