Электростатика равномерно заряженнного треугольника

[drug39]

Прошу извинить, изложил условие очень кратко. В условии не было сказано в чем измеряются координаты. Т.е там они даны в единицах. Точнее нужно сказать в единицах какой-то длины. Скажем, для определенности километров или милиметров. Но для нахождения поля это не важно, а для нахождения потенциала требуется. Еще ответ молчаливо приведен в системе СИ.

[peregoudov]

drug39, а вас, собственно, что интересует? Восстановить условия задачи по ответу? Вот я вычислил $E_y$, считая задачу трехмерной, а распределение заряда плоским, у меня с точностью до знака ответ сходится. Интегралы там стандартные, от квадратичных иррациональностей.

[gris]

Да там и у $E_x$ знак перепутан. Либо в условии было сказано, что треугольник заряжен отрицательно и приведена абсолютная величина плотности заряда. А то получается, что вектор напряжённости имеет составляющие, по знаку совпадающие с плотностью. А ведь пробный заряд положителен.

[Munin]

drug39
Странно, почему условия "в каких-то единицах длины", а ответ - в СИ. Или стоит давать ответ в той же системе, или в условиях должно было бы быть оговорено, что ответ надо перевести в другую систему.

[drug39]

gris в сообщении #393038 писал(а):

Да там и у $E_x$ знак перепутан

Согласен, перепутал, поспешил. Ответ следует исправить.

Munin в сообщении #393043 писал(а):

Или стоит давать ответ в той же системе, или в условиях должно было бы быть оговорено, что ответ надо перевести в другую систему.

А вот это вовсе не обязательно. Иной раз в условии (как в жизни) величины даны в разных системах. Раз уж ответ приведен в виде формулы, то эта формула справедлива для соответствующих систем единиц. В данном случае СИ. Для СГС нужно k заменить на 1.

[Munin]

drug39 в сообщении #393185 писал(а):

А вот это вовсе не обязательно. Иной раз в условии (как в жизни) величины даны в разных системах.

К данному случаю не относится: в условии величины даны в одной системе, просто эта система не СИ.

drug39 в сообщении #393185 писал(а):

Раз уж ответ приведен в виде формулы, то эта формула справедлива для соответствующих систем единиц.

Но переводить что-то ещё дополнительно из одних единиц в другие формула не обязана. Принято как раз в основном оперировать формулами, которые целиком относятся к одной системе единиц, чтобы можно было такие формулы преобразовывать, в том числе в сочетаниях, по стандартным математическим правилам. А перевод из одних единиц в другие совершают отдельным действием до и после применения формулы (уже окончательной для вычисления ответа). Если не придерживаться этой схемы, формульные преобразования станут более неудобными.

drug39 в сообщении #393185 писал(а):

В данном случае СИ. Для СГС нужно k заменить на 1.

Если в формуле фигурирует $k,$ то это не признак СИ. Как раз в СИ $k$ имеет конкретную величину $1/4\pi\varepsilon_0,$ а запись с удержанием $k$ универсальна по отношению к системам единиц. Может, вы просто ошибочно решили, что ответ в СИ?

[drug39]

Поскольку в потенциале ошибку пока никто не нашел я еще раз перепишу
Ответ:
$E_x=k\sigma(Arsh\frac12-\frac{1}{\sqrt5}(Arsh\frac12+Arsh2))$,
$E_y=k\sigma(Arsh2-\frac{2}{\sqrt5}(Arsh\frac12+Arsh2))$,
где $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$.
$\varphi=k\sigma a ((1-\frac{2}{\sqrt5})Arsh2+(2-\frac{2}{\sqrt5})Arsh\frac12)$,
где a - длина единицы координат.

[Munin]

А почему вы ареасинус с большой буквы пишете? Вам достаточно главного значения.

[drug39]

Потому, что в книжках ареафункции обычно с большой буквы, хотя может рассматриваться только главное значение. Согласен, здесь правильнее писать с маленькой.

[Munin]

drug39 в сообщении #393668 писал(а):

Потому, что в книжках ареафункции обычно с большой буквы, хотя может рассматриваться только главное значение.

Вот где пишут с большой, там как раз оставляют возможность читателю использовать все значения, или те, которые ему нужны (обычно это в таблицах интегралов). Там, где, используется только главное, пишут с маленькой. Авторы книжек аккуратны и знают и учитывают смысл обозначений, которые используют, так что это и вам рекомендуется. В данном случае ответ вообще должен получиться действительный, так что многозначные функции ни к селу ни к городу.

[gris]

drug39, так Вы решили задачу или нет? В потенциале $a$ выскакивает потому, что интегрируем-то мы фактически по треугольнику $(0;a),(2a;a),(2a;0)$. При нахождении напряженности $a$ сокращается, а при нахождении потенциала - нет. Ведь общий заряд треугольника пропорционален $a^2$. А вот если бы плотность была привязана к единице длины, то ответ не зависел бы от $a$ в обоих случаях.

[ewert]

gris в сообщении #392891 писал(а):

То, что напряжённость не зависит, в общем-то, естественно: заряд пластины увеличивается в $a^2$ раз и квадрат любого расстояния тоже.

Надёжнее так: в выражении типа $\iint\dfrac{\sigma}{r^2}\,dS$ сигма выносится наружу, а остающийся интеграл явно безразмерен.

[gris]

Ну я по школьному
Еще скажу, что насчёт двумерности я имел в виду не количество измерений, а то, что задача плоская. Ведь в Законе Кулона обратная зависимость сила от квадрата расстояния проистекает именно от трёхмерности нашего мира. Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса. Или это только научно-популярные доводы?

[ewert]

gris в сообщении #393772 писал(а):

в Законе Кулона обратная зависимость сила от квадрата расстояния проистекает именно от трёхмерности нашего мира. Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса. Или это только научно-популярные доводы?

Почему же, это следствие соотв. уравнения Максвелла в интегральной форме (ну плюс соображения симметрии).

[Munin]

gris в сообщении #393772 писал(а):

Еще скажу, что насчёт двумерности я имел в виду не количество измерений, а то, что задача плоская.

Не понял, что имеется в виду под тем и другим (просто привык считать эти формулировки эквивалентными). Вы сохраняете закон Кулона в виде обратных квадратов, или нет?