неравенство симметризации

[Eldar]

Доброго времени суток. Помогите пожалуйста разобраться.
Пусть $\xi_i$ независимые случайные величины с нулевыми средними и конечноми моментами порядка r>=1 (r больше либо равно 1). Доказать неравенство симметризации:

$$E\left|\sum\limits_{i=1}^n \xi_i\right|^r \leqslant E\left|\sum\limits_{i=1}^n (\xi_i-\xi_i')\right|^r$$

где случайные величины $\xi'_i$ совпадают по распределению с $\xi_i$ и не зависят как между собой, так и от последовательности $\xi_i$.

Сл.величины с нулевыми средними, имеется в виду мат.ожидание $\xi_i$ равно 0, а раз они совпадают по распределению и $\xi'_i$, то мат.ожидание $\xi'_i$ тоже 0. (вроде так)
Вроде как надо пользоваться неравенством Йенсена, но применение его в лоб ничего полезного не даёт.
Заранее благодарю.

[Gortaur]

Как насчет рассмотреть величины $S = \sum\limits_{i=1}^n\xi_i$ и $S' = \sum\limits_{i=1}^n\xi'_i$? Вот Вам код для набора формул, поменяйте у себя пока в карантин тему не отправили.

Чтобы написать $S = \sum\limits_{i=1}^n\xi_i$ надо набрать

$S = \sum\limits_{i=1}^n\xi_i$

[gris]

Можно выровнять по высоте

$$E\left|\sum\limits_{i=1}^n \xi_i\right|^r \leqslant E\left|\sum\limits_{i=1}^n (\xi_i-\xi_i')\right|^r$$

$$E\left|\sum\limits_{i=1}^n \xi_i\right|^r \leqslant E\left|\sum\limits_{i=1}^n (\xi_i-\xi_i')\right|^r$$

Добавление к предыдущему

[Eldar]

Рассотреть величины $S = \sum\limits_{i=1}^n\xi_i$ и $S' = \sum\limits_{i=1}^n\xi'_i$ конечно можно, но что делать потом? Расписать бином не помогает.

[Gortaur]

Ну при чем тут бином - у Вас есть две независимые одинаково распределенные сл. величины с нулевым средним. Надо теперь сравнить

$$ E|S|^r\leq E|S-S'|^r. $$

[Eldar]

А как их сравнивать? Йенсена имеет смысл применять только к правой (большей) части. Но его применение даёт: $E|S-S'|^r\geq |E(S-S')|^r=|ES-ES'|^r=0$

[Null]

Фиксируем S:$E|S-S'|^r\geq |E(S-S')|^r=|ES-ES'|^r=|S|^r$. Теперь найдем матожидание обеих частей неравенства.

[Gortaur]

Null
имеете ввиду сначала взять условное МО $E[\cdot|S]$?

[Eldar]

Спасибо всем, кто принял участие в обсуждении. Обобщив вышесказанное получаем:
$E|S-S'|^r=E(E(|S-S'|^r/S))\geq E(|E(S-S'/S)|^r)=E(|E(S/S)-E(S'/S)|^r)=E(|S-E(S')|^r)=E|S|^r$
ч.т.д. Верно же?