Оценка распределения СВ имеющей распределение Пуассона.

[Cantspeak]

Дана случайная величина $X$, имеющая распределение Пуассона с параметром $A$. Соответственно её матожидание и дисперсия также равны A.

Задание: нужно оценить функцию распределения СВ

$$ \frac{{X - A}} {{\sqrt A }} $$

.

Сделанные шаги: Очевидно, что можно применить ЦПТ, для $A$ целого. Тогда, по ЦПТ:

$$ P(\frac{{X - A}} {{\sqrt A }}<t) \to \Phi _{0,1} (t) $$

То есть стремится к функции стандартного нормального распределения. Однако, появился вопрос - как же перейти к $A$ не целым.

Идея - нужно выписать ЦПТ для СВ $Y$, имеющей распределение $ \Pi _{\left\lfloor A \right\rfloor } $, то есть для которой ЦПТ в точности выполнена. И для другой величины $X\in \Pi _{ A } $ и как-то оценивать, допустим, разность между $ F_X (t) $ и $ F_Y (t) $

[Gortaur]

Стремится относительно стремления чего?

[Cantspeak]

Gortaur, извиняюсь. В нашем курсе чистая ЦПТ(на которую мы и ссылаемся) выглядит так:
Имея $ \xi _i $ - последовательность СВ, и $ \forall iE\xi _i^2 $ существуют. Определим $ S_n = \sum\limits_{i = 1}^n {\xi _i } $
Тогда говорят, что для последовательности $ \xi _i $ выполнена ЦПТ, если распределение центрированной и нормированной суммы

$$ \frac{{S_n + ES_n }} {{\sqrt {DS_n } }} $$

слабо сходится при $ n \to \infty $ к стандартному нормальному закону.

Или, другими словами, равномерно по $ x \in \ {\Cal R} $

$$ P\left\{ {\frac{{S_n + ES_n }} {{\sqrt {DS_n } }} < x} \right\}\mathop \to \limits^{n \to \infty } \Phi (x) $$

То есть в рамках нашей задачи для
$Y \in \Pi _{\left\lfloor A \right\rfloor } $ - просто представляем её как сумму ряда
$\xi _i \in \Pi _ 1 $ и применяем ЦПТ.

[Gortaur]

Ок, не понял просто что Вы расписываете ее как сумму. Оценить нужно при больших $A$?

-- Вт дек 28, 2010 19:08:49 --

Я правда не понимаю, зачем оценить если можно и так посчитать.

[Cantspeak]

Да, верно, при сколь угодно больших.

ну если у нас ЦПТ в таком виде - то как мы $X$ при не целом $A$ представим в виде суммы ряда СВ?

[Gortaur]

Да зачем - Вы же знаете распределение Пуассона.

[--mS--]

Условие непонятно. Что значит "оценить функцию распределения"? При целых $A$ Вы воспользовались ЦПТ (кстати, Вы привели не теорему, а определение!) - это Вы "оценили" функцию распределения или ещё нет? Если вопрос только в том, каков предел по распределению указанной дроби, то воспользуйтесь методом характеристических функций. Характеристическая функция дроби находится, предел её при $A\to\infty$ вычисляется и совпадает с х.ф. стандартного нормального распределения.

[alisa-lebovski]

В формулировке ЦПТ перед мат.ожиданием должен быть минус, а не плюс.

Сходимость по ЦПТ будет не только для целых, но и для любых A, потому что исходные слагаемые можно выбрать не только с единичным параметром, а с любым положительным.

Но вообще, конечно, грамотнее с помощью характеристической функции, если вы ее проходили.

[--mS--]

alisa-lebovski в сообщении #392933 писал(а):

Сходимость по ЦПТ будет не только для целых, но и для любых A, потому что исходные слагаемые можно выбрать не только с единичным параметром, а с любым положительным.

Думаете, ЦПТ в схеме серий у ТС была?