ADСпасибо!
Попробую следовать вашей идее (поправьте, пожалуйста, если что):
Предположим, что функционал

непрерывно дифференцируем в смысле Фреше. Дифференцируя равенство
![$F[ax(.)]=aF[x(.)]$ $F[ax(.)]=aF[x(.)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/d/5ad3c4f4d86d5da0bfe59babb99c7f0d82.png)
по

, слева получаем производную по Гато (совпадающую с производной по Фреше) в точке

, справа
![$F[x(.)]$ $F[x(.)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/e/91e917b2e23bd7d91dd7ad06411bd95082.png)
. Устремляя

к

, слева получаем (в силу непрерывной дифференцируемости) производную по Фреше в точке

(тождественный нуль). Поскольку производная по Фреше - непрерывный линейный функционал, по теореме Рисса получаем
![$F[x(.)]=\int_0^1 x(t)db(t)$ $F[x(.)]=\int_0^1 x(t)db(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/8/70866d26996843bef16d024349b5ad3882.png)
для некоторой функции ограниченной вариации

. Так?