Линейная однородность и дифференцируемость

[Mikhail Sokolov]

Нетрудно убедиться, что если функция $F:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ линейно-однородна ($F(ax_1,...,ax_n)=aF(x_1,...,x_n)$ для всех $a>0$) и дифференцируема в нуле, то она линейна: $F(x_1,...,x_n)=b_1x_1+...+b_nx_n$.

Можно ли как-то обощить этот результат на случай функционалов в гильбертовом пространстве? В частности, интересует $C[0,1]$. Т.е. имеем функционал $F:C[0,1] \to \mathbf{R}$, линейно-однородный ($F[ax(.)]=aF[x(.)]$ для всех действительных $a>0$) и дифференцируемый в каком-нибудь смысле (Фреше, Гато). Следует ли из этого, что $F[x(.)]=\int_0^1 x(t)h(t)dt$ для какой-нибудь функции $h \in C[0,1]$?

Спасибо.

[Null]

$F(x)=x_1$ в таком виде не представляется

[AD]

Null в сообщении #392530 писал(а):

$F(x)=x_1$ в таком виде не представляется

Серьёзно?

Mikhail Sokolov в сообщении #392522 писал(а):

гильбертовом пространстве? В частности, интересует $C[0,1]$.

На всякий случай: это пространство не очень гильбертово ...

-- Пн дек 27, 2010 22:21:43 --

Телепатически догадываюсь, что Null имел ввиду что-то типа $F(x)=x(1/2)$, а Mikhail Sokolov не в курсе, что гораздо интереснее в этом контексте рассматривать $h\in\mathrm{VB}[0,1]$ (теорема Рисса же, о классификации линейных непрерывных функционалов на $C[0,1]$).

[Mikhail Sokolov]

AD
Спасибо!
Попробую следовать вашей идее (поправьте, пожалуйста, если что):
Предположим, что функционал $F$ непрерывно дифференцируем в смысле Фреше. Дифференцируя равенство $F[ax(.)]=aF[x(.)]$ по $a$, слева получаем производную по Гато (совпадающую с производной по Фреше) в точке $ax(.)$, справа $F[x(.)]$. Устремляя $a$ к $0$, слева получаем (в силу непрерывной дифференцируемости) производную по Фреше в точке $0$ (тождественный нуль). Поскольку производная по Фреше - непрерывный линейный функционал, по теореме Рисса получаем $F[x(.)]=\int_0^1 x(t)db(t)$ для некоторой функции ограниченной вариации $b$. Так?

[Null]

Да имел ввиду $F(x)=x(1)$
VB - это что?

[moscwicz]

Mikhail Sokolov в сообщении #392522 писал(а):

Нетрудно убедиться, что если функция $F:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ линейно-однородна ($F(ax_1,...,ax_n)=aF(x_1,...,x_n)$ для всех $a>0$) и дифференцируема в нуле, то она линейна: $F(x_1,...,x_n)=b_1x_1+...+b_nx_n$.

Можно ли как-то обощить этот результат на случай функционалов в гильбертовом пространстве?

я думаю, что это верно для любого нормированного пространства и сильно дифференцируемого в нуле и линейно-однородного отображения

[Padawan]

Собственно доказательство уже предоставлено: продифференцировать равенство $F(ax)=aF(x)$ при $a=0$. Получается, что $F(x)=F'_0(x)$ -- непрерывный линейный оператор. Даже хватает положительной однородности ($a>0$).

[AD]

Null в сообщении #392573 писал(а):

VB - это что?

Функции ограниченной вариации. Имеется также холивар "$\mathrm{VB}$ vs. $\mathrm{BV}$".
Только да, конечно, тогда не $h\in\mathrm{VB}$, а ну в-общем она такая "$d$" от $\mathrm{VB}$-функции, ну мера такая то есть, ну да ладно, все всё поняли.

[Mikhail Sokolov]

Извиняюсь, последний вопрос: какого же все таки типа дифференцируемости здесь достаточно?
Мне кажется, что дифференцируемости по Фреше достаточно. Из нее следует непрерывность самого функционала $F$, поэтому мы можем устремив в тождестве положительной однородности $F(ax)=aF(x)$, $a$ к $0$, получить, что оно справедливо в том числе для $a=0$. Далее продифференцировать при $a=0$...