2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Общая формула для n-й производной
Сообщение27.12.2010, 02:52 
Аватара пользователя


22/08/06
756
Хочется поделиться с вами небольшим достижением. Я, вообще говоря, не математик. И как работают с математическими доказательствами, плохо себе представляю. Но недавно мне пришлось стать математиком. Дело в том, что я работаю программистом в одной лаборатории и там нужно реализовывать различные математические алгоритмы. Мне дали задание взять 4-ю производную от функции. Как это делать, я не знал. Поэтому решил начать работу от определения.

Итак, в математическом анализе производная функции f(x) в точке x0 определяется в виде:
$$f'(x_0) =\lim_{{\Delta x} \to {\infty}}\frac{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{\Delta x}}$$
Теперь посмотрим, что представляет из себя 2-я и 3-я производная. Чтобы получить вторую производную, я принимаю, что F2(x) = f'(x). Произвожу операции над F2(x) по первой формуле и получаю:
$$f''(x_0) =\lim_{{\Delta x} \to {\infty}}\frac{{f(x_0 + 2\Delta x) - 2 f(x_0 + \Delta x) + f(x_0)}}{{(\Delta x)^2}}$$
Для 3-й производной:
$$f'''(x_0) =\lim_{{\Delta x} \to {\infty}}\frac{{f(x_0 + 3\Delta x)-3f(x_0 + 2\Delta x) + 3 f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{(\Delta x)^2}}$$
Я думаю, далее не стоит продолжать и можно обобщить формулу:
$$f^n(x_0) = \lim_{\Delta x \to \infty}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{n \choose k}\frac{f(x_0+k\Delta x)}{(\Delta x)^n}$$
Не знаю, а сколько эта фармула полезна в матане. Но вот для программы она очень хороша:

Имеются значения аргументов функции $\{x_0, x_1, x_2, ..., x_m\} = \{x_0, x_0 + T, x_0 + 2T, ..., x_0 + mT\}$, где $T = x_1 - x_0$ и значения функции$ \{y_0, y_1, y_2, ..., y_m\}$. Чтобы получить массив n-й производной, используем обобщенныую формулу, полученную выше. Только сделаем замену $\Delta x = T$ и $f(x_0+k\Delta x) = y_{0+k}$. Получаем
$$f^n(x_i) = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{n \choose k}\frac{y_{i+k}}{T^n}, \mbox{где i} = 0, 1, ..., m-n$$
Руками проверил формулу. Вот что получается для значений $\{x_0, x_1, x_2\}$ и $\{y_0, y_1, y_2\}$

Первая производная для точек x0, x1:
$$\left\{\frac{y_1-y_0}{T}, \frac{y_2-y_1}{T}\right\}$$
Вторая производная для точки x0:
$$\left\{\frac{y_2-2y_1+y_0}{T^2}\right\}$$
Зачем я все это писал. Во-первых, для того, чтобы найти ошибку в том, что я делал. Во-вторых, если формула правильная, мне бы хотелось узнать, есть ли где-то упоминание о ней. Вне сомнения она важна. Я так же уверен, что ее раньше получали, но до сего момента она мне не попадалась. Очень странно. В-третьих, это вам жвачка для мозгов и для расширепния знаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая формула для n-й производной
Сообщение27.12.2010, 03:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Есть понятия "конечные разности", "разностная схема", которые используются при численном решении дифференциальных уравнений. Кроме выведенных Вами есть и другие схемы аппроксимации производных, позволяющие увеличить точность расчётов. Например, $\dfrac {y_2-y_0}{2T}$ для приближения первой производной в $x_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая формула для n-й производной
Сообщение27.12.2010, 03:09 
Аватара пользователя


22/08/06
756
gris
Ваш ответ расцениваю как правильность выводов. Это уже хорошо.

Да, про разностные схемы знаю. Но тут есть причина, по которой я взялся за вывод обобщенной формулы. Я не нашел 4-ю разностную производную. Вполне возможно плохо искал и угробил время. Но, во-первых, это было очень инетесно, во-вторых, многое прояснило в моей голове. Так что польза большая.

Кстати. При увеличении точности увеличивается количество точек, которые нужно использовать для получения производной. Это значит, что увеличивая точность расчетов, мы уменьшаем количество значений n-й производной и уменьшаем количество производных, которые мы можем получить. Что не есть хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая формула для n-й производной
Сообщение27.12.2010, 03:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Всегда полезно открыть что-то даже известное самому. Я некогда читал книгу "Повышение точности решения разностных схем"и тоже программировал решение разных дифференциальных уравнений, и сразу вспомнил былое, прочитав Ваше сообщение :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая формула для n-й производной
Сообщение27.12.2010, 08:02 
Аватара пользователя


22/12/10
264
На всякий случай, думаю, стоит напомнить топикстартеру, что задача численного дифференцирования некорректно поставлена. Пользоваться, например, приведёнными Вами формулами можно, но надо иметь ввиду, что при «ухудшении» точности значений $x_i$, $y_i$ точность вычисления производных «ухудшается» гораздо быстрее. Условно говоря, если $x_i$, $y_i$ вычислены с точностью до 10 знаков после запятой, $y^{(4)}(x_0)$ получится с двумя-тремя точными знаками. Цифры я сейчас взял с потолка, конкретные формулы для точности можете найти в справочниках, или ради интереса сами вывести, там ничего сложного нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая формула для n-й производной
Сообщение27.12.2010, 12:00 


26/12/08
1813
Лейден
Cobert
Вообще если есть интерес в этой теме, посмотрите про формулу Тейлора - насколько я помню, именно она используется для выведения конечно-разностных схем, а также точности их оценок. Если будете смотреть - обратите внимание на формулу Тейлора с остаточным членом в виде Лагранжа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group