Пример кольца

[enever]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с таким вопросом:

Необходимо привести пример кольца, в котором из равенства $xy = 1$ для некоторых элементов не следует $yx = 1$.

Я просмотрел стандартные кольца - они не подходят.
Это вообще в каком направлении искать?

[Bulinator]

Если кольца у Вас ассоциативные, то привести пример не удастся. Если нет, пример надо искать в неассоциативных и видимо даже неальтернативных(октонионы) кольцах.

[enever]

Bulinator в сообщении #391516 писал(а):

Если нет, пример надо искать в неассоциативных и видимо даже неальтернативных(октонионы) кольцах.

В этом вся и проблема, что таких примеров я не знаю....

[RIP]

Например, подойдёт кольцо линейных операторов какого-нибудь бесконечномерного векторного пространства в себя.

[Padawan]

Bulinator в сообщении #391516 писал(а):

Если кольца у Вас ассоциативные, то привести пример не удастся.

Удастся. Кольцо линейных операторов в бесконечномерном пространстве.
Можно даже линейных ограниченных самосопряженных в гильбертовом.

[enever]

А более простых примеров нет.... А то мои познания так далеко не распространяются....

[Mitrius_Math]

Еnever, попробуйте построить какое-нибудь кольцо матриц.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #391525 писал(а):

Удастся. Кольцо линейных операторов в бесконечномерном пространстве.

Путь $xy=1$. И пусть для некоторого $z$, $yz=1$.
Тогда $x=x\cdot 1=x(yz)=(xy)z=1\cdot z$,
т.е. $x=1\cdot z$.
С другой стороны $yx=(y\cdot1)x=yz=1$, т.е. $yx=1$.

-- Сб дек 25, 2010 23:13:27 --

Хотя... Кто мне сказал, что такое $z$ существует?
Значит еще можно среди алгебр без деления искать. (Седенионы не прокатаят!)

[Null]

Это можно описать так $z=\sum_{k=0,l=0} A_{k,l}e_{k,l}$- слагаемых конечно, $e_{0,0}=1$, $A_{k,l}$-числа.
$e_{k,l}e_{n,m}=e_{k+n-l,m}$ если $n\ge l$
$e_{k,l}e_{n,m}=e_{k,m+l-n}$ если $n< l$
Оно ассоциативно.

Можно считать $e_{k,l}=x^k y^l$, и $yx=1$.
x и y не коммутируют. т.е. xy не упрощается.

[enever]

Кстати, у меня вопрос возник: в задача говорится, что есть равенство $xy = 1$.
Так вот, эта 1 - это нейтральный элемент по сложению или по умножению имеется ввиду?

[enever]

А какие варианты возможно в зависимости от ответа на вопрос выше?

[Joker_vD]

Я не знаю ни одного случая, когда через $1$ обозначают нейтральный элемент по сложению.

[enever]

RIP в сообщении #391523 писал(а):

Например, подойдёт кольцо линейных операторов какого-нибудь бесконечномерного векторного пространства в себя.

Можно подробнее на данную тему.
Я плохо разбираюсь в бесконечномерных пространствах и не могу реализовать то, что предложено Вами.....

[RIP]

Берёте любое бесконечномерное векторное пространство $V$ (скажем, пространство всех числовых последовательностей, скажем, вещественных). Определение (линейного) оператора знаете? Если нет --- читаем учебник или гугл. Проверьте, что все линейные операторы $A\colon V\to V$ образуют кольцо, где сложение самое обычное, а умножение --- это композиция. Пример строится очень легко. Для оператора $A$ существование правого обратного (т.е. такого $B$, что $AB$ --- тождественный оператор) равносильно тому, что $A$ --- сюръекция, а существование левого обратного --- тому, что $A$ --- инъекция. Поэтому достаточно взять сюръективное, но не инъективное $x$ и подобрать по нему правое обратное $y$ (или наоборот). Конкретный пример уже найдите сами.

А если в качестве $V$ взять, например, линейное пространство многочленов, то там в качестве $x,y$ подойдут очень хорошо Вам известные из курса матем. анализа штуки. Да, этот пример, пожалуй, получше будет.

[enever]

RIP в сообщении #392162 писал(а):

А если в качестве $V$ взять, например, линейное пространство многочленов, то там в качестве $x,y$ подойдут очень хорошо Вам известные из курса матем. анализа штуки. Да, этот пример, пожалуй, получше будет.

Не пойму о чём речь идёт...