Как могут сосуществовать эти три формулы?

[shwedka]

spartacus в сообщении #391704 писал(а):

$\displaystyle\int\limits_{0}^{x}dt+\int\limits_{x}^{x+C}dt=\int d(t-C)$

Конечно, это монстр. Полная бессмыслица.
Слева определенный интеграл, справа неопределенный интеграл.
И, добавлю,
записывая формулу,
не следует забывать сопровождающие ее слова, без которых, опять,
смысл теряется.

[12d3]

spartacus в сообщении #391704 писал(а):

Не поняли?! Равны не производные, а значения производных этих различных функций при одном и том же значении $x$!

Не понял. Значения производных равны при любом $x$ - значит равны производные. Зачем тут какое-то противопоставление?
Вот пример: Функции $y_1(x)=x^2;\,\,\,\,\,y_2(x)=x^2+5;\,\,\,\,\,y_3(x)=x^2-1$.
Производные у них равны $y_1'(x)=2x;\,\,\,\,\,y_2'(x)=2x;\,\,\,\,\,y_3'(x)=2x$
Скажите, в чем различие производных?

[spartacus]

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

А чем Вы, собственно, раздражены? Указанное свойство у Фихтенгольца доказано для $a\neq 0$, а для $a=0$ Вы сами прекрасно продемонстрировали, что эта формула не работает. Всё доказано. Вопрос закрыт.

С чего это вдруг Вы сделали такой вывод? Мой вывод другой: формула работает без ограничений, что и доказано Фихтенгольцем. А оговорка сделана для того, чтобы спасти системную ошибку. А системная ошибка заключается в следующем:
$g(x)=f(x)+C=f(t)$. Необходимо найти $\left(f(x)+C\right)'$.

$\left(f(x)+C\right)'=\frac{dg(x)}{dx}$ - неверно!

$\left(f(x)+C\right)'=\frac{df(t)}{dt}$ - верно!

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

Во-первых не надо путать неопределённый интеграл с определённым. Во-вторых не надо путать неопределённый интеграл с функцией верхнего предела.

Я так понял, что Вы сами не понимаете, почему процесс дифференцирования ОДИН, а обратных процессов почему-то ДВА! Откуда взялся второй - никто не говорит. По-моему, никто и не понимает...

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

И хватит играть с многозначностью. Вы же не падаете в обморок от равенства $0 \cdot 5=0\cdot 7$. Кроме того, Вы, видимо, имели в виду $\displaystyle\int\limits_{0}^{x}dt+\int\limits_{x}^{x+C}dt=\int d(x-C)$.

Странно, что Вы не поняли такой элементарной записи:
$\displaystyle x+C=\int dx$ при $t=x+C:$

$\displaystyle\int\limits_{0}^{x}dt=x;$

$\displaystyle\int\limits_{x}^{x+C}dt=C;$

$\displaystyle\int d(t-C)= \int dx.$

Теперь переписываем: $\displaystyle\left( x+C=\int dx\right)=\left(\int\limits_{0}^{x}dt+\int\limits_{x}^{x+C}dt=\int d(t-C)\right)!$

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

Но понять надо не "нам", а Вам. Речь идет о производной функции в точке.

Вы имеете ввиду точку графика функции с абсциссой, заданной точкой на оси абсцисс?

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

Функция $y=x^2$ в точке 3 имеет значение 9 и производную 6.

Стоп, стоп, стоп! 9 - это длина ординаты точки! 6 - это значение самой точки! 3 - это значение абсциссы точки!

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

То, о чём говорите Вы, это функция $y=2x$. Это функция для нахождения производной в любой точке.

Секундочку! Это функция - она не для нахождения(!) Она - сама по себе функция! Другое дело, что она связана определенной формулой с другой ничуть не лучше и не главнее её функцией $y=x^2$.

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

В просторечии производная и не более того.

В том то и дело, что в просторечии!!! Эти две функции существуют независимо друг от друга, но между ними обнаруживается некоторая связь(!)

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

При этом различные функции в одной и той же точке могут иметь одну и ту же производную. Различны значения функций, а производная одна и та же. Ну и что?

Я же написал Вам: обратите внимание на то, что эти точки РАЗЛИЧНЫЕ! Одинаковы только их абсциссы, а ординаты различны, следовательно и точки - различны!

-- Вс дек 26, 2010 17:09:39 --

shwedka в сообщении #391709 писал(а):

spartacus в сообщении #391704 писал(а):

$\displaystyle\int\limits_{0}^{x}dt+\int\limits_{x}^{x+C}dt=\int d(t-C)$

Конечно, это монстр. Полная бессмыслица.
Слева определенный интеграл, справа неопределенный интеграл.

Хорошо, что появился ЗНАТОК! Тогда у меня вопрос к знатоку: Почему прцесс дифференцирования - ОДИН, а обратных ему процессов интегрирования - ДВА?!

shwedka в сообщении #391709 писал(а):

И, добавлю,
записывая формулу,
не следует забывать сопровождающие ее слова, без которых, опять,
смысл теряется.

Хочется напомнить, что чем больше слов, тем вернее, что Вас хотят обмануть!

-- Вс дек 26, 2010 17:20:29 --

12d3 в сообщении #391855 писал(а):

spartacus в сообщении #391704 писал(а):

Не поняли?! Равны не производные, а значения производных этих различных функций при одном и том же значении $x$!

Не понял. Значения производных равны при любом $x$ - значит равны производные. Зачем тут какое-то противопоставление?
Вот пример: Функции $y_1(x)=x^2;\,\,\,\,\,y_2(x)=x^2+5;\,\,\,\,\,y_3(x)=x^2-1$.
Производные у них равны $y_1'(x)=2x;\,\,\,\,\,y_2'(x)=2x;\,\,\,\,\,y_3'(x)=2x$
Скажите, в чем различие производных?

Объясняю:
Даны функции: $f(x)=x^2, f(t)=t^2, f(h)=h^2$.

Известны их производные: $f'(x)=2x, f'(t)=2t, f'(h)=2h$.

Известна связь между их аргументами: $t^2=x^2+5, h^2=x^2-1$

Тогда: $f'(x)=2x, f'(t)=2\sqrt{x^2+5}, f'(h)=2\sqrt{x^2-1}$

И константа не теряется, и не надо выдумывать никакого семейства, чтобы потом из нуля получать числа, вопреки здравому смыслу...Всё становится на свои места!

[Jnrty]

Jnrty:

spartacus, будьте любезны сформулировать определение неопределённого интеграла.
Если сформулируете неправильное определение (совершенно не важно, где Вы его возьмёте) или попытаетесь уклониться от ответа, будете немедленно заблокированы за злокачественное и агрессивное невежество.

[spartacus]

Jnrty в сообщении #391890 писал(а):

Jnrty:

spartacus, будьте любезны сформулировать определение неопределённого интеграла.
Если сформулируете неправильное определение (совершенно не важно, где Вы его возьмёте) или попытаетесь уклониться от ответа, будете немедленно заблокированы за злокачественное и агрессивное невежество.

Почему? А если у меня есть сомнение в правильности его формулировки в том виде, который дается в учебниках. Почему сомнение Вы квалифицируете как невежество, а любознательность подаете как агрессивность?! Да читал я, что это семейство первообразных...но, не согласен! Для этого я и вошел в ДИСКУССИОННЫЕ темы, а не в научные...

Здесь же разрешали полемизировать на эту же тему!

[Виктор Викторов]

spartacus в сообщении #391873 писал(а):

shwedka в сообщении #391709 писал(а):

И, добавлю,
записывая формулу,
не следует забывать сопровождающие ее слова, без которых, опять,
смысл теряется.

Хочется напомнить, что чем больше слов, тем вернее, что Вас хотят обмануть!

spartacus!
Здесь никто никого не хочет обмануть. Здесь все хотят разобраться в различных математических вопросах. Делать это лучше пытаясь понять друг друга. Часто выясняется, что под одними и теми же словами различные люди понимают разные вещи. Поэтому часто приходится сначала договариваться о терминологии. Критерием подобных договорённостей служат определения.

[spartacus]

Виктор Викторов в сообщении #391898 писал(а):

spartacus в сообщении #391873 писал(а):

shwedka в сообщении #391709 писал(а):

И, добавлю,
записывая формулу,
не следует забывать сопровождающие ее слова, без которых, опять,
смысл теряется.

Хочется напомнить, что чем больше слов, тем вернее, что Вас хотят обмануть!

spartacus!
Здесь никто никого не хочет обмануть. Здесь все хотят разобраться в различных математических вопросах. Делать это лучше пытаясь понять друг друга. Часто выясняется, что под одними и теми же словами различные люди понимают разные вещи. Поэтому часто приходится сначала договариваться о терминологии. Критерием подобных договорённостей служат определения.

Вы совершенно ПРАВЫ! Именно поэтому хочется видеть больше формул и меньше слов. Поэтому, когда ФОРМУЛА опровергается НЕ ФОРМУЛОЙ, а СЛОВАМИ, типа: "Так нельзя!", причем без докзательств, то я это воспринимаю, как недалекость ума источника сомнения, извините...

[Mitrius_Math]

Jnrty в сообщении #391890 писал(а):

Jnrty:

spartacus, будьте любезны сформулировать определение неопределённого интеграла.
Если сформулируете неправильное определение (совершенно не важно, где Вы его возьмёте) или попытаетесь уклониться от ответа, будете немедленно заблокированы за злокачественное и агрессивное невежество.

+1!

[spartacus]

Mitrius_Math в сообщении #391903 писал(а):

Jnrty в сообщении #391890 писал(а):

Jnrty:

spartacus, будьте любезны сформулировать определение неопределённого интеграла.
Если сформулируете неправильное определение (совершенно не важно, где Вы его возьмёте) или попытаетесь уклониться от ответа, будете немедленно заблокированы за злокачественное и агрессивное невежество.

+1!

Мальчик, Вы ещё здесь?

[Виктор Викторов]

spartacus в сообщении #391873 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #391705 писал(а):

А чем Вы, собственно, раздражены? Указанное свойство у Фихтенгольца доказано для $a\neq 0$, а для $a=0$ Вы сами прекрасно продемонстрировали, что эта формула не работает. Всё доказано. Вопрос закрыт.

С чего это вдруг Вы сделали такой вывод? Мой вывод другой: формула работает без ограничений, что и доказано Фихтенгольцем. А оговорка сделана для того, чтобы спасти системную ошибку. А системная ошибка заключается в следующем:
$g(x)=f(x)+C=f(t)$. Необходимо найти $\left(f(x)+C\right)'$.

$\left(f(x)+C\right)'=\frac{dg(x)}{dx}$ - неверно!

$\left(f(x)+C\right)'=\frac{df(t)}{dt}$ - верно!

Во-первых, формула таки работает только для $a\neq 0$. Вы привели контрпример, показав, что эта формула не работает при $a=0$.
Во-вторых, никакой тем более системной ошибки здесь нет. С чего Вы взяли, что $f(x)+C=f(t)$? Пусть $f(x)=x^2$ и $C=3$. Тогда $f(x)+C=x^2+3$ и $f(t)=t^2$. Почему эти функции равны?

[Jnrty]

spartacus в сообщении #391897 писал(а):

Jnrty в сообщении #391890 писал(а):

Jnrty:

spartacus, будьте любезны сформулировать определение неопределённого интеграла.
Если сформулируете неправильное определение (совершенно не важно, где Вы его возьмёте) или попытаетесь уклониться от ответа, будете немедленно заблокированы за злокачественное и агрессивное невежество.

Почему? А если у меня есть сомнение в правильности его формулировки в том виде, который дается в учебниках.

В формулировках определений не сомневаются. Если Вам не нравится стандартное определение неопределённого интеграла как множества всех первообразных заданной функции (на заданном промежутке), Вы обязаны явно сформулировать своё. Вы этого не сделали, поэтому все подразумевали стандартное определение.

spartacus в сообщении #391897 писал(а):

Почему сомнение Вы квалифицируете как невежество, а любознательность подаете как агрессивность?! Да читал я, что это семейство первообразных...но, не согласен! Для этого я и вошел в ДИСКУССИОННЫЕ темы, а не в научные...

Ну что же, стандартное определение Вы видели.
При стандартном определении все Ваши софизмы разрушаются. В пункте 2 параметр $a\neq 0$ (Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. "Наука", Москва, 1969. Пункт 266.), а в пункте 3 уже первая формула написана неправильно.

spartacus в сообщении #391647 писал(а):

В смысле, не существует такой формулы: $\displaystyle U\cdot V=\int VdU+\int UdV?$

Да, такой формулы не существует. Потому что в левой части стоит функция, а в правой - множество функций.

spartacus в сообщении #391905 писал(а):

Мальчик, Вы ещё здесь?

Да, я здесь.

Jnrty:

spartacus в сообщении #391897 писал(а):

Здесь же разрешали полемизировать на эту же тему!

Дело не в теме, а в характере дискуссии.
Вы умышленно заводите дискуссию в тупик, неявно подменяя определения. Это рассматривается как троллинг. Поэтому бан.

[Xaliuss]

Не ожидал, что все так далеко зайдет. Автора сгубило то, что два разных понятия - определенный и неопределенный интеграл имеют совершенно разный смысл, хотя и обозначаются и называются примерно одинаково, и между ними есть связь - формула Ньютона-Лейбница.

[gris]

Автор просто решил потроллить. Я его немножко покормил ради ночной бессонницы, пока он закономерно не перешёл к хамству. На этом можно было бы и закончить, и всегда надо заканчивать, но добросердечные люди решили то ли поиграться, то ли всерьёз его восприняли

[AD]

(Оффтоп)

Н-да, чего-то я редко в дискуссионные темы заглядываю последнее время. Такого персонажа пропустил (:

[chuchhe]

Xaliuss в сообщении #392937 писал(а):

Не ожидал, что все так далеко зайдет. Автора сгубило то, что два разных понятия - определенный и неопределенный интеграл имеют совершенно разный смысл, хотя и обозначаются и называются примерно одинаково, и между ними есть связь - формула Ньютона-Лейбница.

Совершенно разный смысл - это, извините, как?! Дифференциал и интеграл, например, имеют противоположный смысл. А как два интеграла могут иметь совершенно разный смысл? Значит, у них и противоположные действия, по логике, должны иметь совершенно разный смысл?! Что-то как-то становится неуютно...

-- Ср дек 29, 2010 08:11:22 --

Кстати, а может быть $\int 0dx=C-C$. Те самые сокращенные константы восстают из "небытия" парой? Тогда первая прибавляется к первообразной и получается семейство, а вторая к нулю и вместе с нулём "отбрасывается?" Тогда, вообще, всё сходится!