Равномерная сходимость последовательности

[basic]

$f_n(x)=\frac{\cos(\frac{x}{n})}{x^3}$

$E_1=(0,1)$
$E_2=(1, \infty)$

Предельная функция равна $\frac{1}{x^3}$

Как дальше делать?
Пытался исследовать $|f_n(x)-f(x)|$, ничего не получилось

[SpBTimes]

Что значит: ничего не получилось? Нужно будет делать оценками.

[basic]

Какую оценку предложите?

[SpBTimes]

Перейдите к синусу, потом его оцените

[basic]

$cos^2(x)+sin^2(x)=1$

$|f_n(x)-f(x)|=\frac{cos(\frac{x}{n})-1}{x^3} = -\frac{1-cos(\frac{x}{n})}{x^3} = -\frac{sin^\frac{1}{2}(\frac{x}{n})}{x^3} \le - \frac{1}{x^3}$
Так?

[SpBTimes]

Модуль не теряйте. И формулу правильно применяйте

[ewert]

basic в сообщении #392040 писал(а):

Так?

Не так. Во-первых, оценка нужна по модулю, а не односторонняя (а у Вас к тому же получилось ещё и не в ту сторону, куда нужно). Во-вторых, непонятно, зачем степень синуса перепутана, да и вообще с тригонометрией у Вас дело швах. Но это всё семечки, главная проблема в другом. Вы по ходу дела потеряли все эн; так о какой сходимости дальше вообще можно и говорить-то?...

Оцените синус через его аргумент.

[basic]

$|f_n(x)-f(x)|=|\frac{cos(\frac{x}{n})-1}{x^3}| = |\frac{1-cos(\frac{x}{n})}{x^3}|$
Да, вы правы, с тригонометрией проблемы. Как перейти к синусу?

[SpBTimes]

посмотрите формулы понижения степени. Примените её в обратном направлении

[basic]

$|f_n(x)-f(x)|=|\frac{cos(\frac{x}{n})-1}{x^3}| = |\frac{1-cos(\frac{x}{n})}{x^3}| = |\frac{2sin^2(\frac{x}{2n})}{x^3}| $

[SpBTimes]

Теперь оцените синус его аргументом

[basic]

$|f_n(x)-f(x)|=|\frac{cos(\frac{x}{n})-1}{x^3}| = |\frac{1-cos(\frac{x}{n})}{x^3}| = |\frac{2sin^2(\frac{x}{2n})}{x^3}| \le |\frac{1}{2n^2x}}|$
Вроде так получается, т.к. синус, если я не ошибаюсь всегда меньше или равен своему аргументу

[SpBTimes]

Так. И что дальше можно сделать?

[basic]

Эм.. Найти его супремум?

[SpBTimes]

Неплохо бы, по множеству E