Вывести формулу

[Xoma]

Объясните пожалуйста одну вещь
У симметричных точек должны выполняться условия
1)$arg(z-z_0)=arg(z^*-z_0)$
2)$|z-z_0||z^*-z_0|=R^2$ нужно найти формулу для $z^*$
$z^*$-симметричная точка,вот в Боярчуке написано:
$z^*-z_0=\frac{R^2}{|z-z_0|}e^{i*arg(z-z_0)}$ -как они раскрыли модуль?откуда взялось e-это ведь комплексное число?
далее заносят e в знаменатель
и получают $z^*-z_0=\frac{R^2}{\overline{z-z_0}}$ (там сопряж в знаменателе) а это как они получили??
Распишите пожалуйста поподробнее.Сколько сижу ни как не могу понять
Заранее благодарен

[ewert]

Xoma в сообщении #391959 писал(а):

У симметричных точек

Симметричных относительно чего и в каком смысле?... и что понимается под звёздочкой?...

[Xoma]

Симетричных относительно окружности с центром в точке $z_0$
$z^*$-симметричная точка
В Боярчуке 85 стр(ТФКП)

[ewert]

Тогда так. Из равенства аргументов следует $z-z_0=|z-z_0|\cdot e^{i\varphi}$ и $z^*-z_0=|z^*-z_0|\cdot e^{i\varphi}$, где $\varphi$ -- тот самый аргумент. Тогда из второго равенства получаем $(z^*-z_0)e^{-i\varphi}\cdot|(z-z_0)|=R^2$, т.е. $(z^*-z_0)\cdot(\overline{z-z_0})=R^2$, вот и всё.

[Xoma]

а почему $e^{-i\varphi}|z-z_0|=\overline{z-z_0}$?

[ewert]

Xoma в сообщении #391986 писал(а):

а почему $e^{-i\varphi}|z-z_0|=\overline{z-z_0}$?

Потому, что $e^{-i\varphi}=\overline{e^{i\varphi}}$.

[Xoma]

А чему равно $e^{-i\varphi}$ если его представлять через $z$ и $z_0$?
а $|z-z_0|$-'это типа $\rho$?

[ewert]

Xoma в сообщении #392037 писал(а):

А чему равно $e^{-i\varphi}$ если его представлять через $z$ и $z_0$?
а $|z-z_0|$-'это типа $\rho$?

Это да, это типа, только Вы лучше не фантазируйте, а подходите к делу абсолютно формально. Вполне достаточно держать в памяти, что вещественные сомножители при сопряжении не меняются, и что сопряжение к произведению есть произведение сопряжённых. А уж эти-то факты должны от зубов отскакивать.