свойство чисел

[PreVory]

Есть некоторое простое число $n$, которое не может быть представлено как сумма квадратов двух целых чисел. Доказать или опровергнуть то, что это число не может быть делителем суммы квадратов целых чисел, по модулю меньших $(n-1)^2$
Мне кажется, что утверждение верно. Но как доказывать вообще не представляю.

[ИСН]

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+...$

-- Сб, 2010-12-25, 14:16 --

стоп, нет, это не то.

-- Сб, 2010-12-25, 14:17 --

3 - простое? 3 не представляется?
а тем не менее $3^2+3^2$ на него делится.

[nnosipov]

PreVory в сообщении #391315 писал(а):

Есть некоторое простое число, которое не может быть представлено как сумма квадратов двух целых чисел. Доказать или опровергнуть то, что это число не может быть делителем суммы квадратов целых чисел.
Мне кажется, что утверждение верно. Но как доказывать вообще не представляю.

Если это правильно сформулировать, то получится хорошо известный факт. Для его доказательства потребуется лишь малая теорема Ферма. Хотя ... Лучше сразу доказывать, что простые числа вида $4k+1$ представимы суммой двух квадратов (Эйлеру для этого потребовалась только малая теорема Ферма и метод бесконечного спуска).

[PreVory]

совсем забыл про одно важное условие, уже изменил формулировку, так что пример ИСН не подходит.

-- Сб дек 25, 2010 14:16:55 --

nnosipov в сообщении #391346 писал(а):

Если это правильно сформулировать, то получится хорошо известный факт. Для его доказательства потребуется лишь малая теорема Ферма. Хотя ... Лучше сразу доказывать, что простые числа вида $4k+1$ представимы суммой двух квадратов (Эйлеру для этого потребовалась только малая теорема Ферма и метод бесконечного спуска).

а факт то верный? Потому что из доказательства представимости простых чисел вида $4k+1$ в виде суммы двух квадратов, вроде как не следует то, что любая сумма квадратов не делится на наше число, или найдётся сумма квадратов делящаяся на данное число.

[nnosipov]

PreVory в сообщении #391315 писал(а):

Есть некоторое простое число $n$, которое не может быть представлено как сумма квадратов двух целых чисел. Доказать или опровергнуть то, что это число не может быть делителем суммы квадратов целых чисел, по модулю меньших $(n-1)^2$
Мне кажется, что утверждение верно. Но как доказывать вообще не представляю.

Странная формулировка. Вот нормальная: если простое $p$ не представимо суммой двух квадратов (т.е., фактически, $p \equiv -1 \pmod{4}$), то оно не может быть делителем никакой суммы двух взаимно простых квадратов.

[PreVory]

нашёл в интернете доказательство этой теоремы, спасибо)