Про группы и решётки

[Atoris]

Прошу вас объяснить мне решения следующих задач :
1. Содержит ли группа S6 элементы порядка 7?
Ответ объяснить.
Моя попытка решения : Нет, т.к. порядок любого элемента в группе не может превышать порядка самой группы. В группе S6 содержится 6 элементов => элемента порядка 7 в ней не может быть.
Препод сказал исправить .

2. Построить решётку подгрупп мультипликативной группы (Z7)* поля Z7.
тут я вообще не знаю как быть. Нам этого не объясняли.

Заранее благодарю.

[BapuK]

имелось ввиду $S_6$? т.е. группа всех подстановок множества, состоящего из 6 элементов? если да то там элементов не столько, сколько вы сказали.

по второй задаче, сначала выпишите все подгруппы, которые есть у данной группы

[Atoris]

BapuK в сообщении #391243 писал(а):

имелось ввиду $S_6$? т.е. группа всех подстановок множества, состоящего из 6 элементов? если да то там элементов не столько, сколько вы сказали.

по второй задаче, сначала выпишите все подгруппы, которые есть у данной группы

а сколько там элементов ? 6! ?

[Null]

$6!$

[BapuK]

(Оффтоп)

Null в сообщении #391257 писал(а):

$6!$

я бы сказал $6!$!

[ИСН]

(Оффтоп)

я бы сказал "$6!$, блин!"

Впрочем, 7 там всё равно никак - вот и функция Ландау то же самое говорит.

[VAL]

Atoris в сообщении #391245 писал(а):

BapuK в сообщении #391243 писал(а):

имелось ввиду $S_6$? т.е. группа всех подстановок множества, состоящего из 6 элементов? если да то там элементов не столько, сколько вы сказали.

по второй задаче, сначала выпишите все подгруппы, которые есть у данной группы

а сколько там элементов ? 6! ?

Угу.
Теперь, для Вашей первой задачей достаточно воспользоваться теоремой Лагранжа (о порядке подгруппы конечной группы).
Но для понимания ситуации в целом полезно разобраться со следующим:
- группа $S_n$ состоит из биективных отображений n-элементного множества на себя;
- каждая перестановка (элемент $S_n$) разлагается в произведение независимых циклов;
- порядок перестановки (и порожденной ей циклической подгруппы) равен НОК длин независимых циклов.

Для понимания того, как устроены циклические подгруппы $S_n$ этого достаточно.
С прочими - сложнее. Замечу только, что теорема Лагранжа необратима. Например, в $S_5$ нет подгрупп порядка 40, хотя 120 кратно 40.

По второй задаче:
Сколько элементов в мультипликативной группе поля $\mathbb{Z}_7$?
Рассмотрите все степени класса, порожденного 3 и убедитесь, что Ваша группа - циклическая.
У конечной циклической группы решетка подгрупп совпадает с решеткой делителей порядка группы.

-- 25 дек 2010, 12:30 --

ИСН в сообщении #391268 писал(а):

Впрочем, 7 там всё равно никак - вот и функция Ландау то же самое говорит.

Конечно! Но зачем же так пугать бедного первокурсника?! :)