Доказать неравенство

[Cute]

Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, удовлетворяющих равенству
$\frac{1}{{a^2 + 1}} + \frac{1}{{b^2 + 1}} + \frac{1}{{c^2 + 1}} + \frac{1}{{d^2 + 1}} = 1$ выполняется неравенство $\frac{{a + b + c + d}}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}} \geqslant 3$.

[Sasha2]

Итак, нужно доказать, что:
$\[a + b + c + d \ge 3(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})\]$
Из условия нетрудно получить, что:
$\[a = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}} \]$, $\[b = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}} \]$, $\[c = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} \]$ и $\[d = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} \]$.
И наше неравенство запишется так:
$\[\sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} \ge 3\left( {\sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} } \right)\]$
Применяя Коши-Шварца имеем
$\[\begin{array}{l} \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}} \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} \\ \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}} \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} \\ \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} \\ \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} \\ \end{array}\]$
А теперь применив, сперва AM-GM, затем слегка попереставляем слагаемые и затем снова применив Коши-Шварца (для сворачивания), получаем окончательно:
$\[\begin{array}{l} LHS \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {v^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}} \right) \\ \ge \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} + \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} + \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} + \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} \\ \ge \left( {\sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} } \right) \\ \end{array}\]$
На этом и завершаем доказательство.

P.S. Решение уродливое. Красивое решение могло бы быть при использовании неравенства Чебышева, но мне не удалось обосновать его применение.
Точнее удалось, но только в том случае, если все 4 искомых числа больше 1.

[Cute]

Sasha2, спасибо большое! Но я у меня есть вопросы по доказательству.
1) К каким выражениям применяется неравенство между средними арифметическим и геометрическим?
2) Как получается такая оценка:
$LHS \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {v^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}} \right) \\ $
?

[Sasha2]

Ну здесь под AM-GM следует понимать вот такое неравенство
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$.

А данная оценка получается после сложения и перестановки членов.