Асимптотическое равентсво

[ewert]

nevero в сообщении #390337 писал(а):

У нас определение вводится как предел отношения функций равен константе.

Соответственно преподаватель хочет получить решение именно в таком виде.

Скажите преподавателю, что он категорически неправ (хотя лучше, конечно, не рисковать). Никто, находясь в трезвом рассудке, таким способом символ "О-большое" не понимает. Равенство предела константе -- это никакое не "О-большое" а эквивалентность (в одном из возможных пониманий, не очень распространённом).

Впрочим, если преподавателю ну очень уж приспичила именно эквивалентность, то ради бога, даже и с именно единичной константой. Пафос очень прост: по мере увеличения икса подынтегральный знаменатель начинает всё медленнее и медленнее меняться в сравнении с числителем, и асимптотически можно заменить знаменатель на просто его значение на левом пределе, вблизи которого, собственно, числитель в основном и сосредоточен.

Ну или (раз уж мы смотрим именно на ряд) ещё тупее: просто разложите на один шажок дальше. Тогда $(n+1)$-й член и будет давать асимптотику остатка -- ведь оценка поправки для этого расширенного разложения сверху у нас уже есть, и она много меньше $(n+1)$-го члена.

[nevero]

Хорошо, тогда я пользуюсь определением с Википедии - это не солидно. Вы случайно не знаете более авторитетную литературу, в которой давалось бы данное определение?

[paha]

nevero в сообщении #390349 писал(а):

Хорошо, тогда я пользуюсь определением с Википедии - это не солидно. Вы случайно не знаете более авторитетную литературу, в которой давалось бы данное определение?

фихтенгольц

[ewert]

nevero в сообщении #390349 писал(а):

я пользуюсь определением с Википедии

Дайте адресную ссылку на это определение. Если всё действительно так, как мы с paha предположили -- то это и впрямь неприлично до любопытства. Но возможно, что мы попросту не поняли друг друга.

[paha]

ewert в сообщении #390351 писал(а):

Дайте адресную ссылку на это определение

adjoint

[nevero]

paha в сообщении #386003 писал(а):

$$ \int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}{\rm d}t}{t}\le \frac{1}{xe^x}, $$

А как доказать данное неравенство?

Геометрически я понимаю почему так, но как это строго доказывается. Теорему о среднем тут не применишь - интеграл несобственный. Тогда как?

[paha]

nevero в сообщении #390991 писал(а):

А как доказать данное неравенство?

paha в сообщении #386255 писал(а):

на здравом смысле

$$ \int_A|fg|\le\max\limits_{A}{|f|}\cdot\int_A|g| $$

Хоть собственный, хоть несобственный

[nevero]

paha в сообщении #391000 писал(а):

paha в сообщении #386255 писал(а):
на здравом смысле

$$ \int_A|fg|\le\max\limits_{A}{|f|}\cdot\int_A|g| $$

А как доказывается этот здравый смысл. Я понимаю, что очевидно, но требуется точное доказательство, ведь это не определение, чтобы посмотреть на это неравенство и успокоиться.

[paha]

nevero в сообщении #391004 писал(а):

А как доказывается этот здравый смысл.

ну, знаете ли...

$$ 0\ge \int_A\Bigl(|fg|-|g|\max_A|f| \Bigr)=\int_A|fg|-\max_A|f|\int_A|g| $$

-- Пт дек 24, 2010 18:37:58 --

интеграл от неположительной функции -- неположительное число

[ewert]

nevero в сообщении #390991 писал(а):

А как доказать данное неравенство?

Ну для конечных-то промежутков оно, как я понял, сомнений у Вас не вызывает?...

Ну так и напишите его для конечных, а потом попросту перейдите в этом неравенстве к соотв. пределу.

(это если по рабоче-крестьянски)