8 прямых на плоскости

[Xenia1996]

Существуют ли
а) 7
б) 8

прямых на плоскости таких, что есть по крайней мере 6 точек, в каждой из которых пересекаются ровно 3 прямые и хотя бы 4 точки, в каждой из которых пересекаются ровно 2 прямые?

Для семи прямых я доказала влёгкую:
Всего имеется ровно 21 различных пар прямых. Так как каждая пара может пересекаться не более, чем в одной точке, имеем 6 точек, в каждой из которых пересекаются ровно 3 пары и хотя бы 4 точки, в каждой из которых пересекается ровно 1 пара, итого 22 пары. Противоречие.

А вот восемь прямых, думаю, существуют, но никак пример не могу подобрать.

[zhoraster]

Всем известно, что любое утверждение о прямых, точках и их инцидентности остается правильным, если заменить прямые точками, а точки прямыми (можно применить полярное преобразование, например).

Так что давайте наоборот (по крайней мере, мне так проще).

Надо найти 8 таких точек, что есть не менее 6 прямых, каждая из которых содержит ровно по три точки и не менее 4 прямых, содержащих ровно по две точки.

Очень легко указать 7 точек (просто рисовать и рисовать...), для которых есть 6 прямых с тремя точками и 3 прямых с двумя. А дальше просто.

[ИСН]

$\begin{picture}(100,100) \color{black} \linethickness{1} \put(15,0){\line(1,0){50}} \put(20,0){\line(-1,2){25}} \put(60,0){\line(1,2){25}} \put(0,40){\line(2,1){45}} \put(80,40){\line(-2,1){45}} \put(20,0){\line(3,2){65}} \put(60,0){\line(-3,2){65}} \put(40,-5){\line(0,1){75}} \end{picture}$

[Xenia1996]

zhoraster в сообщении #390733 писал(а):

Всем известно, что любое утверждение о прямых, точках и их инцидентности остается правильным, если заменить прямые точками, а точки прямыми (можно применить полярное преобразование, например).

Так что давайте наоборот (по крайней мере, мне так проще).

Надо найти 8 таких точек, что есть не менее 6 прямых, каждая из которых содержит ровно по три точки и не менее 4 прямых, содержащих ровно по две точки.

Очень легко указать 7 точек (просто рисовать и рисовать...), для которых есть 6 прямых с тремя точками и 3 прямых с двумя. А дальше просто.

Во-первых, спасибо! Не проверяла, но пока верю на слово. Сейчас проверю.

Во-вторых, задача лёгкая, но я просто боялась думать. Слово "Putnam" создаёт во мне когнитивный барьер. По непонятной причине мне кажется, что коль уж Патнэм, обязательно должно быть архисложно, хотя умом понимаю, что некоторые патнэмские задачи не превосходят уровня советских маткружков.

-- Чт дек 23, 2010 21:03:13 --

ИСН в сообщении #390734 писал(а):

$\begin{picture}(100,100) \color{black} \linethickness{1} \put(15,0){\line(1,0){50}} \put(20,0){\line(-1,2){25}} \put(60,0){\line(1,2){25}} \put(0,40){\line(2,1){45}} \put(80,40){\line(-2,1){45}} \put(20,0){\line(3,2){65}} \put(60,0){\line(-3,2){65}} \put(40,-5){\line(0,1){75}} \end{picture}$

А где 4 точки по 2?
Пардон, уже вижу.
И Вам спасибо!

zhoraster:

Вижу, я Вас сильно напугал. Я думаю, тут теги [off] излишни.

[venco]

Можно и 7 тройных пересечений сделать.

[Xenia1996]

venco в сообщении #390745 писал(а):

Можно и 7 тройных пересечений сделать.

За что купила, за то и продаю.
Вы не поверите, но задача отсюда (problem A6): https://webspace.utexas.edu/ag6823/www/ ... utn73.html

[paha]

Xenia1996 в сообщении #390735 писал(а):

Во-первых, спасибо! Не проверяла, но пока верю на слово.

это называется "проективная двойственность"

[Xenia1996]

paha в сообщении #390749 писал(а):

это называется "проективная двойственность"

Это - вот это? http://en.wikipedia.org/wiki/Duality_%2 ... eometry%29

[paha]

Xenia1996 в сообщении #390751 писал(а):

Это - вот это?

sure