Помогите разобраться с уравнением Эйлера

[ИСН]

Ага, корень проблемы локализован. Нет, не совсем по таблице; точнее, тут есть нюанс...

[Ales]

Автору надо самому проварьировать выражение и получить уравнение Эйлера.
Это не сложно.
Тогда появится понимание вопроса.

[Sverest]

Производная от функции, то есть касательная функции, это имели в виду?

[ИСН]

Sverest, я тут всё думал, как бы это помягче сказать - начать с цветочков, рыбок, детей в капусте?... - но ладно, скажу прямо. В общем, производная бывает не только от чего-то, но и по чему-то.

[Gortaur]

Sverest
Формализм - это такая производная от функции нескольких переменных. Например, формализм от $xy$ по $y$ будет $x$.

[Sverest]

ИСН в сообщении #390728 писал(а):

Sverest, я тут всё думал, как бы это помягче сказать - начать с цветочков, рыбок, детей в капусте?... - но ладно, скажу прямо. В общем, производная бывает не только от чего-то, но и по чему-то.

Набрал в гугле "производная по" выдало: производная по направлению, производная по времени...

[ИСН]

Нет, это слишком короткий обрывок, чтобы гугл мог зацепиться за какую-то мысль. Короче, у нас бывают производные по x, по y, а также по другим, эээ, буквам.

[Sverest]

И когда например производная по $x$, то $y$ считается как обычное число, которое в таблице обычно обозначается $c$

[ИСН]

Вот именно! И наоборот: когда по y, то...

[Sverest]

С тем как решать дифференциальное уравнение второго прядка немного разобрался, но все еще не могу понять, что такое "$\alpha = 1$ является однократным корнем характеристического уравнения", и как это было определено, и что будет если $\alpha$ не будет корнем характеристического уравнения

[Sverest]

Можете проверить правильно ли я составил уравнение Эйлера?
Задание: найти экстремали функционала
$I [y(x)]=\int_{1}^{e} (xy'^2+yy')dx;~~y(1)=0;~~y(e)=1$
$F(x;y;y')=xy'^2+yy'$
$F_y=0$
$F_{y'}=2xy'$
уравнение Эйлера: $ -2xy''=0$
отсюда $y''=0$
$y=C_1x+C_2$
если не ошибаюсь, это уравнение не имеет частного неоднородного решения, поэтому
ответ $y=C_1x+C_2$ семейство экстремалей,
мне кажется здесь где то ошибка, почему то оказались неиспользованы начальные условия
$y(1)=0;~~y(e)=1$

[Sverest]

Задание найти экстремали функционала:
$I [y(x)]=\int_{1}^{e} (xy'^2+yy')dx;~~y(1)=0;~~y(e)=1$
$F(x;y;y')=xy'^2+yy'$
$F_y=0$
$F_{y'}=2xy'+y$
$-\frac{d}{dx}(2xy'+y)=0$
$(2xy')'+y'=0$
$2(y'+xy'')+y'=0$
$2xy''+3y'=0$
Подскажите как дальше решать это уравнение, из него нельзя сделать линейное второго порядка?

[12d3]

Переменные $x$ и $y'$ разделяются.

[paha]

замена $y'=z$

[Sverest]

$2xz'+3z=0$
$2x\frac{dz}{dx}+3z=0$
$2xdz=-3zdx$
$2\frac{dz}{z}=-3\frac{dx}{x}$
$2\int\frac{dz}{z}=-3\int\frac{dx}{x}$
$2 \ln z=-3 \ln x +C_0$
как избавиться от коэффициентов при $\ln$ ?