Ряд Лорана

[awd]

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки $z_0$:

$$\frac{6z^3-2z^2-10z+7}{(z+1)^2(z-2)^2}, z_0=-1$$

Решение: Разложим в кольце $0<|z+1|<1$
Разложим на простейшие:

$$\frac{6z^3-2z^2-10z+7}{(z+1)^2(z-2)^2}=\frac1 {(z+1)^2}+\frac 2 {z+1}+\frac 3 {(z-2)^2}+\frac4 {z-2}$$

Два первых слагаемых имеют нужный вид. Последние два слагаемых запишем в виде:

$$\frac 1 {z-2}=- \frac 1 2 \cdot \frac 1 {1-\frac z 2}=- \frac 1 2 \left( 1+ \frac z 2+\frac {z^2} {2^2}+... \right)$$

$$\frac 1 {(z-2)^2}=\left(\frac 1{z-2}\right)'=- \frac 1 2 \left(\frac 1 2+\frac {2z} {2^2}+\frac {3z^2} {2^3}+...\right)$$

Итого:

$$f(z)=\frac1 {(z+1)^2}+\frac 2 {z+1}+3\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {z^n \cdot (n+1)} {2^{n+1}}\right)-2 \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac {z^n} {2^n} $$

Правильно ли?

[Null]

Нет неправильно. У вас в последних двух слагаемых $z^n$, а должен быть $(z+1)^n$

[awd]

Да, вероятно так:

$$f(z)=\frac1 {(z+1)^2}+\frac 2 {z+1}+3\left(-\frac 1 3 \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(z+1)^n \cdot (n+1)} {3^{n+1}}\right)+4 \left(-\frac 1 3 \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac {(z+1)^n} {3^n} \right)$$