проверить на дифференцируемость и аналитичность

[retraktor]

Задача из курса ТФКП (какую неделю уже не могу разобраться).
Имеется комплексная дробь (z принадлежит множеству комплексных чисел):
${\frac {z-1}{z+1}}$
Необходимо проверить ее на дифференцируемость и аналитичность и взять производную, если это возможно.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Для решения этой задачи, очевидно, надо воспользоваться условиями Коши-Римона, предварительно выделив вещественную и мнимую части.

${\frac {z-1}{z+1}}$ = $1-2\, \left( z+1 \right) ^{-1}$ = $1-2\, \left( x+iy+1 \right) ^{-1}$ = $1-2\,{\frac {x+1-iy}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}}$ = $1-{\frac {2\,x+2}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}}-{\frac {2\,iy}{ \left( x+y \right) ^{2}+{y}^{2}}}$

Отсюда легко видеть, что вещественная часть $u=1-2\,{\frac {x+1}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}}$ и мнимая $v=-2\,{\frac {y}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}}$

Найдем частные производные (чтобы посмотреть, выполняется ли условие Коши-Римона):

${\frac {\partial }{\partial x}} \left( {\frac {2\,x+2}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}} \right) $ = $2\, \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{-1}-{\frac { \left( 2\,x+2 \right) ^{2}}{ \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}$

${\frac {\partial }{\partial y}} \left( -2\,{\frac {y}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}} \right) $ = $-2\, \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{-1}+4\,{\frac {{y}^{2}}{ \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}} $

${\frac {\partial }{\partial x}} \left( -2\,{\frac {y}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}} \right)$ = $2\,{\frac {y \left( 2\,x+2 \right) }{ \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}$

${\frac {\partial }{\partial y}} \left( {\frac {2\,x+2}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}} \right)$ = $-2\,{\frac {y \left( 2\,x+2 \right) }{ \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}$

Получили, что второе условие выполняется всегда, а вот первое лишь при $y=4\,\sqrt {{x}^{2}+2\,x}$ . Из чего я делаю вывод, что функция дифференцируема лишь в точках, удовлетворяющих $y=4\,\sqrt {{x}^{2}+2\,x}$ , и нигде не аналитична. Производную беру так:
${\frac {d}{dz}} \left( {\frac {z-1}{z+1}} \right)$ = $ \left( z+1 \right) ^{-1}-{\frac {z-1}{ \left( z+1 \right) ^{2}}}$

Вопрос: что я делаю не так? Где ошибка(-и)? Преподаватель говорит, что функция аналитична, но я этого не вижу.
Заранее признателен за подсказки.

[Хорхе]

Во-первых, в $u$ потеряна единица (это не важно). Во-вторых, косяк со знаками. Это тоже не имеет значения, потому что знак перепутан четное количество раз. В-третьих, для выписанных частных производных условия Коши-Римана выполнены, несмотря на Ваши ошибки.

UPD: пока писал, пост был отредактирован, первой ошибки теперь нет.

[retraktor]

Не могу понять, почему выполняются условия Коши-Римана, если

${\frac {\partial }{\partial x}} \left( {\frac {2\,x+2}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}} \right) $ = $2\, \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{-1}-{\frac { \left( 2\,x+2 \right) ^{2}}{ \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}$

не равно тождествено (при любых x и любых y)

${\frac {\partial }{\partial y}} \left( -2\,{\frac {y}{ \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2}}} \right) $ = $-2\, \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{-1}+4\,{\frac {{y}^{2}}{ \left( \left( x+1 \right) ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}} $

Или я опять чего-то не понимаю?

[maxmatem]

напишите в общем виде условие К-Р.

[retraktor]

maxmatem
пожалуйста, условия Коши-Римана:
${\frac {d}{dx}}u$ = ${\frac {d}{dy}}v$
${\frac {d}{dx}}v$ = $-{\frac {d}{dy}}u$

[Хорхе]

retraktor в сообщении #390336 писал(а):

Или я опять чего-то не понимаю?

Вы все хорошо понимаете, просто ленитесь аккуратно привести к общему знаменателю.

[paha]

retraktor в сообщении #390320 писал(а):

Необходимо проверить ее на дифференцируемость и аналитичность и взять производную, если это возможно.

а можете ответить на вопрос: если $f(z)$ и $g(z)$ аналитичны в некоторой области, то будет ли аналитична и в какой области функция $f(z)+g(z)$? а функция $1/f(z)$? а $g(f(z))$?

[retraktor]

Хорхе
где косяк со знаками я наконец-то увидел

paha
на такие вопросы я ответить не могу

Хорхе
ну да, если привести к общему знаменателю, то все получается) публиковать, наверное, смысла не имеет. спасибо

[maxmatem]

Цитата:

на такие вопросы я ответить не могу

Это очень плохо, так как знание ответов на поставленные paha вопросы, сильно облегчили бы работу над такими примерами , да и вообще в ТФКП.
Так, что лучше попытайтесь ответить на них и разобраться в них.