Достижимость (?) (случайные процессы)

[Gortaur]

Есть стохастический процесс $X_t$ со значениями во множестве $E$, где время $t$ дискретно либо непрерывно. Определим событие

$$ R(T,A) = \{\omega\in\Omega|\exists t\in[0,T]:X_t\in A\} $$

для некоторого $A\subset E$. Далее один нехороший автор безо всяких ссылок утверждает, что

$$ R(\infty,A) = \sup\limits_\tau E[I_A(X_\tau)], $$

где супремум берется по всем временам остановки $\tau:P\{\tau<\infty\} = 1$. И черт возьми, я хочу ему верить, но он не приводит доказательства. Помогите разобраться, так ил уж это очевидно и верно следует ли, что

$$ R(T,A) = \sup\limits_{\tau\leq T} E[I_A(X_\tau)]? $$

[zhoraster]

В первой формуле никакой символ вероятности не пропущен? Помещаю в Карантин, чтобы Вы могли отредактировать. Отпишите потом в тему Сообщение в карантине исправлено.

[Gortaur]

Есть попытка доказательства, прошу проверить. Итак,

$$ R(T,A) = \{\omega|\exists t\leq T: X_t(\omega)\in A\}. $$

Пусть $\tau_A = \inf\{t\geq 0:X_t\in A\}$, тогда

$$ R(T,A) = \{\omega|\tau_A(\omega)\leq T\}. $$

Пусть $\tau^* = \min(\tau_A,T)$. Тогда $I_A(X_{\tau^*})(\omega)=1$ тогда и только тогда, когда $\tau_A\leq T$ или тогда и только когда $\omega\in R(T,A)$. Значит

$$ P(R(T,A)) = E[I_A(X_{\tau^*})]. $$

Пусть $\sigma\leq T$ $P$-п.н. - другое марковское время. Введем событие

$$ R_\sigma = \{\omega|I_A(X_\sigma)(\omega) = 1\}. $$

Пусть $\omega'\in R_\sigma$ - следовательно, $\exists t = \sigma(\omega')$ такое что $X_t\in A$, то есть $\tau_A(\omega')\leq T$. Следовательно $R_\sigma\subset R(T,A)$. То есть

$$ E[I_A(X_\sigma)] = P(R_\sigma)\leq P(R(T,A)) = E[I_A(X_\tau^*)], $$

или

$$ P(R(T,A)) = \sup\limits_{\sigma\leq T}E[I_A(X_\sigma)], $$

что я и хотел доказать.

Верно ли доказательство?
Как его можно обобщить на случай $T=\infty$?