функциональное уравнение

[moscwicz]

Рассмотрим уравнение

$$u(x)-u(ax+b)=\psi(x)+(u(cx+d))^2,$$

$a,b,c,d$ -- не равные нулю константы; $\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$.
Доказать, что если $|a|$ и $|c|$ достаточно малы, то это уравнение имеет решение $u(x)\in C^1(\mathbb{R})$.

[moscwicz]

Добавлю. Надо найти такое решение $u(x)\in C^1(\mathbb{R})$, что $u,u'\to 0$ при $|x|\to\infty$.

[Padawan]

Сдается мне, что это уравнение надо переписать в виде $u(ax+b)+(u(cx+d))^2+\psi(x)=u(x)$ и рассмотреть сжимающее отображение $Au(x)=u(ax+b)+(u(cx+d))^2+\psi(x)$ в пространстве... надо подумать в каком.
Может быть в $C_{\ast}^1(\mathbb R)$ -- пространстве функций $u\in C^1(\mathbb R)$ с $u,u'\to 0$ при $|x|\to\infty$,
$\|u\|=\max |u(x)|+\max |u'(x)|$ ?

[moscwicz]

Там действительно принцип сжатых отображений. Только по-моему в Вашем пространстве ничего не выйдет. Содержание задачи как раз в том чтоб придумать хорошее пространство.

[Padawan]

moscwicz в сообщении #389777 писал(а):

Только по-моему в Вашем пространстве ничего не выйдет.

Да, я уже понял. Первое, что в голову пришло.

[moscwicz]

Я, кажется просчитался. У меня тоже сжатия не получается. Снимаю задачу