Степенной ряд

[SpBTimes]

Ferd
Верно вы написали.
Общий член ряда всегда нужно находить, потому что именно от него зависит: сходится ряд или расходится.
И вам не нужно его искать, он всегда записан под знаком ряда. Всегда. Иногда даже ряд не пишут, а дают просто его общий член, во многих задачниках.

Теперь возвратимся к нашему общему члену. У нас написано: $a_{n}$, но нам ещё нужен $a_{n+1}$. Запишите его. (вместо n везде подставить n + 1)

[Ferd]

SpBTimes

$a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1}(x - 5)^{n}}{n*3^{n}}$ - это общий член ряда.

$a_{n+1} = \frac{(-1)^{n}(x - 5)^{n+1}}{(n+1)*3^{n+1}}$

Ну, вот...

[SpBTimes]

Очень хорошо.
Теперь давайте не по формуле, а для общего понимания.
Есть такой признак Даламбера:
Пусть есть ряд с общим членом $a_{n}$
рассмотрим предел:
$lim_{n->inf} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = q$
Если $q >1$, то ряд расходится
Если $q = 1$, то признак ответа на вопрос не даёт
Если $0<= q < 1 $, то ряд сходится.

Заметьте, берётся модуль отношения (в пределе).

Вот давайте теперь составим такой предел, у вас правильно записан $a_{n}$ и $a_{n+1}$, и будем пытаться его вычислить

[Ferd]

SpBTimes

$lim_{n->inf} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|$ - это признак Даламбера.

То есть нужно подставить данные общего члена ряда$a_n$ и $a_n+1$ в этот предел и проверить сходимость-расходимость...
Может...не прав...поправите меня, если что...

$lim_{n\to\infty}|\frac{\frac{(-1)^{n}(x - 5)^{n+1}}{(n+1)*3^{n+1}}}{\frac{(-1)^{n - 1}(x - 5)^{n}}{n*3^{n}}}|$

[SpBTimes]

Правильно. Теперь.
(-1) и в числителе, и в знаменателе можно убрать - у нас же модуль.
Необходимо воспользоваться св-вами степеней и сократить то, что сокращается. Свойство степеней одно и то же тут везде: $a^{n + 1} = a^{n}*a$

Делайте и покажите, что вышло

[Ferd]

SpBTimes

$\frac{(-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}}\cdot\frac{(x-5)^{n+1}}{(x-5)^{n}}\cdot\frac{3^n}{3^{n+1}}\cdot\frac{n}{n+1}={(-1)^{n+2-(n+1)}\cdot{(x-5)^{n+1-n}}\cdot{3^{n-(n+1)}}\cdot\frac{n}{n+1}={{-1}^{1}}\cdot{(x-5)}\cdot{3^{-1}}\cdot\frac{n}{n+1}$

[SpBTimes]

Так, хорошо.
Теперь наше выражение вот такое:
$lim_{n\to\infty} |\frac{(x - 5)*n}{3*(n + 1)}|$
Чему равно отношение $\frac{n}{n+1}$ на бесконечности?

[Ferd]

SpBTimes

Подставим вместо $n$ бесконечность $\infty$, получим:

$lim_{n\to\infty}=\frac{{\infty}}{{{\infty}+1}}=\frac{\infty}{\infty}=1$

[SpBTimes]

Ну, это равно единице вовсе не потому, что у нас неопределённость вида бесконечность/бесконечность, но опустим этот момент

Значит предел мы смогли высчитать.
$lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = |\frac{x - 5}{3}|$
Ну теперь вспомним, что чтобы ряд сходился, нужно, чтобы:
$|\frac{x - 5}{3}| < 1$
Решайте это неравенство с модулем

[Ferd]

SpBTimes

А почему сходился, а может ряд расходится или надо просто убедиться в сходимости ряда или расходимости?

Почему решать надо одно неравенство, а не два?

[SpBTimes]

Вы своё задание хоть раз читали?

Цитата:

найти область сходимости степенного ряда.

[Ferd]

SpBTimes

Извините меня пожалуйста, я стараюсь...решить...

Опустив модуль и решив два неравенства у меня получилось:

${x}<{8}$...(1)

${x}>{6}$...(2)

Записав всё вместе, получил:

${6}<{x}<{8}$

Сейчас ругать будут...

[SpBTimes]

мдааа..
$|x - 5| < 3$
$-3 < (x - 5) < 3$
$ 2 < x < 8$

Промежуток $(2; 8)$ - промежуток абсолютной сх-ти ряда.
Но признак Даламбера не работает, когда предел равен единице. А это границы промежутка, то есть 2 точки:
$x = 2$
$x = 8$

Их надо исследовать отдельно. Подставьте вместо х в исходный ряд сначала 2, потом 8, и исследуйте их на сходимость каким-нибудь известным (?) вам способом.

Например:
х = 2
Общий член ряда:
$a_{n} = \frac{(-1)^{n - 1}(2 - 5)^{n}}{n*3^{n}} = \frac{(-1)^{n - 1}(-3)^{n}}{n*3^{n}}$
$ = \frac{(-1)^{2n - 1}(3)^{n}}{n*3^{n}} = \frac{(-1)^{2n - 1}}{n}$
Что скажете про ряд с таким общим членом? Сходится он, или что?

[ewert]

Сейчас пойдёт четвёртая страница, посвящённая этому замечательному ряду.

[SpBTimes]

ewert
Не пугайте(