Компактный оператор, функциональный анализ

[T-Mac]

то что образ бесконечномерен -очевидно, а вот непрерывность как то не выходит
так же не понятно , как бесконечномерность образа шара связана с не предкомпакностью образа, которая трбуется для комапктности

[sup]

Так, по порядку. Что такое непрерывность? Пусть $x,y \in l_p$. Покажите, что $||Ux-Uy||_{C[0,1]} \leqslant C||x-y||_{l_p}( ||x||_{l_p}^{p-1} + ||y||_{l_p}^{p-1})$. Для этого воспользуйтесь неравенством Гёльдера. Насчет бесконечномерности. Вспомните, Вы сами упоминали её в связи с тождественным оператором.
Кстати. С линейными операторами не все так просто. Универсальным является не $C[0,1]$, а $C(0,1)$. Так что для линейных операторов вопрос остается открытым.

[Хорхе]

T-Mac в сообщении #388463 писал(а):

прочитал только что:"Тождественный оператор компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен"
получается что этот оператор некомпактен...значит этот метод решения не годится...

Да не совсем этот оператор тождественный, потому что пространства разные. Потому он вполне может быть компактным.

Простой пример: тождественный оператор из пространства липшицевых функций с нормой $\sup |f(x)| + \sup \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ в пространство непрерывных по теореме Асколи--Арцела является компактным.

[zhoraster]

T-Mac в сообщении #388549 писал(а):

Я изначально писал правильно но во всех моих постах исправлено почему то $l_p$ на $L_p$

Вообще у Вас было написано так: $l_p((0;1))$, это я исправил на $L_p$ (что естественно). Сейчас вернул $l_p$. Кстати, тождественный оператор из $C[0,1]$ в $L_p[0,1]$ не является компактным, это я размечтался.

[T-Mac]

С непрерывностью оператора вроде понятно, а вот с его некомпактностью не ясно

[sup]

Предъявите ограниченную последовательность $\{x_n\} \subset l_p$ такую, что из последовательности $\{Ux_n\}$ нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Между прочим, отсюда должно быть видно, зачем нужна бесконечномерность образа (как там обстоят дела с замкнутыми и ограниченными множествами в $R^n$?).

[T-Mac]

(1,0,0...)(0,1,0...) ...
получаеться последовательность $sinkx$, вроде как все подпоследовательности расодяться

[sup]

Ну да. Так оно и есть. С нелинейными операторами все просто. А вот линейные операторы - компактные, хотя мне это кажется весьма неожиданным (поскольку вложение $C[0,1] \subset L_q(0,1)$ не компактно.)

[T-Mac]

а как доказать факт про синусы формально?

[sup]

Бааааааааа. Ну это вообще по определению. Примените критерий Коши к последовательности $u_k=sin(kx)$ в $L_p(0,1)$. (Ну там что то насчет $|u_k-u_m| \leqslant \epsilon$).