разложить в ряд Маклорена e^ (x/sin (x))

[Gortaur]

EvilOrange в сообщении #387656 писал(а):

Ага, бином Ньютона... знаю.
Тогда получается, $e^{x+1} = 1+ \frac{(x+1)^1}{1!}+ \frac{(x+1)^2}{2!} +\frac{(x+1)^3}{3!}+ \frac{(x+1)^4}{4!}+...+ \frac{(x+1)^n}{n!}$
Как Вы уже говорили, на четвертой степени останавливаться нельзя, потому что степени меньше 4 будут всплывать и дальше в каждом слагаемом. Вот тока непонятно с какими коэффициентами =(
А пока распишу слагаемые,
$x+1$ оставляем без изменений,а вот следующий член раскроем и поделим на 2! почленно $\frac{(x+1)^2}{2!}=\frac{x^2+2x+1}{2}=\frac{x^2}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}$, тут 2 сокращается, запишу на всякий случай разложение для третьй степени
$\frac{(x+1)^3}{3!}=\frac{x^3+3x^2+3x+1}{3!}=\frac{x^3}{3!}+\frac{3x^2}{3!}+\frac{3x}{3!}+\frac{1}{3!}$
Общий случай тогда будет иметь вид
$(x+1) ^ n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^k = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k!(n-k)!)} x^k $

Ага, а теперь подставьте это в ряд Тейлора - заметьте, что $n!$ сократится и сгруппируйте правильно и очень осторожно коэффициенты при степенях $x^k$.

[EvilOrange]

$e^{x+1}$ я написал как $e^x * e$
как поступить с $e^{\frac{x}{sin x}}$ я не знаю, потому, что знаю как так написать только для суммы показателей и разности. А у нас в показателе частное. Чтобы был Бином Ньютона нужна сумма, А у нас тут и суммы-то никакой опять же нет...
С другой стороны, я уже разложил $\frac{x}{sin x}$
и поэтому теперь задача имеет вид

т.е. это будет равно
$e * e^ {\frac{x^2}{6}}*e^ {\frac{7x^4}{360}} +e^{o(x^4)}$

[Gortaur]

Можно и так конечно - но Вы уверены, что откинув все, что меньше 4ой степени в показатели Вы ничего не потеряли? (я не намекаю на ошибку - просто Вы можете это доказать, показать, привести аргументы для самого себя?)

[EvilOrange]

Gortaur в сообщении #387667 писал(а):

просто Вы можете это доказать, показать, привести аргументы для самого себя?)

Ну, единственный аргумент - $o(x^4)$ - число очень малое,а e в степени очень малой должно тоже быть малым... Только где-то о окрестности единицы быть... Печалька.
Пойду пока другие задания сделаю, как сделаю - вернусь =)

[Gortaur]

Вот Вам такой пример,

$$ (1+\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^4+\x^5 + o(x^5))\cdot (2+3x+x^2+\frac{1}{2}x^3-x^4+o(x^5)) $$

здесь можете написать разложение в ряд Тейлора до четвертой степени? Если да, то потом возьмитесь за

$$ (1+\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^4+\x^5 + o(x^5))\cdot (2+3x+x^2+\frac{1}{2}x^3-x^4+o(x^5))\cdot (1+x-\frac{1}{3}x^2+x^4+o(x^5)) $$

Там может и понятнее станет, как

$$ e^{1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}} $$

посчитать с точностью до четвертой степени.

[EvilOrange]

Решил!
$e^{1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}}$
Представляем как
$e^1 * e^{\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}}$
$e^{\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}}= e*(1+({\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}})+\frac{({\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}})^2)}{2}+o(x^5) =e*(1+({\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}})+\frac{({\frac{x^4}{36}+\frac{x^2}{3}}))}{2}+o(x^5)$
Приводим подобные,получаем ответ =)

[ИСН]

Откуда $x^2\over3$ в последнем значимом слагаемом? Ладно бы там арифметика какая, но этот крокодил в шкафу!..

[EvilOrange]

ИСН
Это я напутал =) Просто хотел полностью раскрыть скобки по квадрату суммы, потом передумал и на полуслове остановился =) там просто $\frac{x^4}{72}$ получается, складываем с $\frac{x^4}{360}$ воооот =) Счастье ^_^