разложить в ряд Маклорена e^ (x/sin (x))

[Gortaur]

(Оффтоп)

$=e\cdot e^x$.

[ИСН]

Gortaur, Вас когда-нибудь кто-нибудь клялся страшной клятвой убить медленно и мучительно?

[Gortaur]

Ну, если вспомнить про мой ник, то как минимум четверо хоббитов.

[ИСН]

Ну-ну.

[EvilOrange]

Так говорил уже. 1+1+1/2+1/6+1/24 = 65/24

[Gortaur]

Дело в том, что отбрасывать сейчас, после $(x+1)^4$ нельзя, так как нулевая степень и дальше будет появляться в разложении (как и первая и вторая и все-все-все...).
Вот когда она не будет уже появляться, и Вы будете в этом уверены - тогда отбросите. посмотрите на мой оффтоп и подумайте, почему должен быть именно такой свободный член.
Здесь отбрасывать хвост нельзя чтобы посчитать свободный член - нужно лишь посмотреть какой ряд получиться для него и вспомнить чему равна сумма.

[EvilOrange]

ахха, понятно...
Итак, коэффициент при степени 0 икса = $1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...++\frac{1}{n!}=e $ откуда $e^x$ в оффтопе появилось - непонятно. И непонятно, что делать дальше о_О
т.к. по сути,у нас имеется

$$\sum\limits_{k=0}^n \frac{(1+\frac{x^2}{2}+\frac{7x^4}{360})^k}{k!} $$

и если единицу мы отсюда как-то вытащили, т.к. в какую степень ни возводи, то единица и останется, то с иксом проблемка...или,я ошибся,когда ряд раскладывал...

[ИСН]

Не беритесь за свою задачу. Доделайте мою. Тем более там один неописуемо гнусный изменник - как терпит небо, нет громов в запасе? - уже подсказал основную мысль.

[EvilOrange]

Так уже ж все написали - сумму в степени расписываем,как произведение оснований со степенями слагаемых.
$e^{x+1}=e^x*e$
раскладываем $e^x$ в ряд и домножаем каждый элемент на e. степень у нас до $o(x^5)$, поэтому получается
$e^{x+1}=e*(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24})=e+ex+\frac{ex^2}{2}+\frac{ex^3}{6}+\frac{ex^4}{24}$
Но у меня-то показатель так нельзя разложить...

[Gortaur]

EvilOrange
Я просто расписал $e^{1+x} = e\cdot e^x$, это к Вашему вопросу откуда в оффтопе е в степени икс. Вы здорово нашли ряд Тейлора через произведение, но теперь подумайте, как бы он получился, если бы Вы напрямую искали его коэффициенты в виде

$$ e^{x+1} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(x+1)^n}{n!}. $$

Я бы и дальше написал, но боюсь ИСН уготовит мне тогда судьбу Паскаля, придется пока залечь на дно.

(Оффтоп)

Анонимус сообщает: есть формула бинома Ньютона, знаете такую?

[ИСН]

EvilOrange в сообщении #387650 писал(а):

Но у меня-то показатель так нельзя разложить...

Как разложить? Почему нельзя?

[EvilOrange]

Ага, бином Ньютона... знаю.
Тогда получается, $e^{x+1} = 1+ \frac{(x+1)^1}{1!}+ \frac{(x+1)^2}{2!} +\frac{(x+1)^3}{3!}+ \frac{(x+1)^4}{4!}+...+ \frac{(x+1)^n}{n!}$
Как Вы уже говорили, на четвертой степени останавливаться нельзя, потому что степени меньше 4 будут всплывать и дальше в каждом слагаемом. Вот тока непонятно с какими коэффициентами =(
А пока распишу слагаемые,
$x+1$ оставляем без изменений,а вот следующий член раскроем и поделим на 2! почленно $\frac{(x+1)^2}{2!}=\frac{x^2+2x+1}{2}=\frac{x^2}{2}+\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}$, тут 2 сокращается, запишу на всякий случай разложение для третьй степени
$\frac{(x+1)^3}{3!}=\frac{x^3+3x^2+3x+1}{3!}=\frac{x^3}{3!}+\frac{3x^2}{3!}+\frac{3x}{3!}+\frac{1}{3!}$
Общий случай тогда будет иметь вид
$(x+1) ^ n = \sum\limits_{k=0}^n C_n^k x^k = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(k!(n-k)!)} x^k $

-- Ср дек 15, 2010 10:22:40 --

ИСН в сообщении #387654 писал(а):

Как разложить? Почему нельзя?

Разложить как $e^{x+1} = e^x * e$
А $\frac{x}{sinx}$ так нельзя расписать, там же отношение... Хотя, с другой стороны,я же его уже в ряд суммы разложил...

[ИСН]

"Так" - это как?

[EvilOrange]

исправил в предыдущем посте,как так=)

-- Ср дек 15, 2010 10:30:39 --

Да и по биному Ньютону как-то слабо раскладывается этот x/синус x.

[ИСН]

Ещё раз, пожалуйста, поподробнее: как Вы хотели бы расписать $\frac{x}{\sin x}$ и почему этого нельзя?