Как решать такое уравнение?

[Nxx]

Как решать такое уравнение?

$$g(t+2)=g(t)+g(t+1)^2$$

[arseniiv]

Замена $t \mapsto \ln u$ ведь ничего не даёт, да?

[Quasus]

Nxx в сообщении #388746 писал(а):

Как решать такое уравнение?

$$g(t+2)=g(t)+g(t+1)^2$$

Мэпл не решает, однако.

Уточню: у вас последовательность заданна рекуррентно (правда, первых двух членов нет), а вы хотите получить явную формулу $n$-го члена? Надо полагать, что $t$ принимает натуральные значения?

[Nxx]

Ну да.

[sup]

Да уж, на явную формулу шансов немного. Но можно заметить, что $-2/t$ дает некое приближение. Можно попытаться искать решение в виде ряда: $g(t)=f(1/t)$

$$f(z)=-2z+a_2z^2+a_3z^3+ ....$$

[paha]

Nxx в сообщении #388746 писал(а):

Как решать

Вам прямо-таки явная формула нужна, или какое-то свойство этой последовательности?

[Xaositect]

Возможно, поможет запись в таком виде, хотя я из нее ничего в плане точного решения не извлек:
$\begin{cases}\Delta g_1(n) = g_2(n)^2\\\Delta g_2(n) = g_1(n+1)^2\end{cases}$, $g_1(n) = g(2n), g_2(n) = g(2n+1)$

В плане асимптотического поведения $g =\omega( 2 ^{c2^{n}})$ и $g = o(2^{cn2^n})$ для любых $c$, если я нигде не наглючил. Вам точно нужно что-то лучше поведения второго логарифма?

-- Пн дек 20, 2010 19:50:05 --

sup в сообщении #389559 писал(а):

Да уж, на явную формулу шансов немного. Но можно заметить, что $-2/t$ дает некое приближение.

Неа, там неустойчивость. $g_1$ и $g_2$ из моего поста, очевидно, неубывающие, а следовательно, и $g_1 \geq g_1(0) + ng_2(0)^2$, $g_2\geq g_2(0) + ng_1(0)^2$. Так что рано или поздно вылезет за единицу, а там суперэкспоненциальный рост.

[sup]

Вы забыли про знак. Возрастающая последовательность отрицательных чисел запросто может стремиться к 0. Однако, в конечном итоге Вы правы. Аналитической $f(z)$ (даже в малой окрестности 0) все равно не получится.