Характеристические функции

[Niclax]

Является ли функция $e^{\cos{t}-1}$ характеристической? Как это можно проверить?

[SpBTimes]

опред. знаете?

[Niclax]

SpBTimes
Разумеется знаю.

[paha]

а разве характеристическая функци не два значения принимает -- 0 и 1?-)

[ИСН]

paha, это другое

[paha]

ИСН в сообщении #389234 писал(а):

paha, это другое

а название такое же

[ИСН]

(Оффтоп)

Так бывает. В геометрии штаны - это теорема Пифагора, а в химической кинетике - пробирка Оствальда.

[Утундрий]

Преобразование Фурье в помощь.

А вообще-то, полностью формулировать нужно, не экономя слов. А то, знаете, бывают разные характеристические функции, не обязательно случайной величины....

[paha]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #389238 писал(а):

Так бывает. В геометрии штаны - это теорема Пифагора, а в химической кинетике - пробирка Оствальда.

в геометрии штаны -- это сфера с тремя дырами

[Niclax]

Да, извиняюсь, что не уточнил. Под характеристической функцией подразумевается характеристическая функция случайной величины.

[ewert]

Niclax в сообщении #389222 писал(а):

Является ли функция $e^{\cos{t}-1}$ характеристической? Как это можно проверить?

Минимально необходимые требования выполнены -- она по модулю не превосходит единицы и в нуле равна единице. Из периодичности следует, что соответствующая СВ дискретна и что вероятности (с точностью до множителя) -- это коэффициенты ряда Фурье для "характеристической" функции. Из чётности следует, что разложение будет только по косинусам. Осталось проверить, будут ли все её коэффициенты Фурье неотрицательными.

[Niclax]

Утундрий
Преобразование Фурье - это вроде для непрерывных случайных величин, а мы даже пока не знаем существует ли такая случайная функция вообще.

ewert
Но если свойства выполняются, то это еще ни о чем не говорит.

Вообще данная функция похожа на хар.функцию случ.величины с Пуассоновским распределением...

[ewert]

Niclax в сообщении #389464 писал(а):

Вообще данная функция похожа на хар.функцию случ.величины с Пуассоновским распределением...

Пуассоновской она, естественно, не будет. Поскольку она вещественна -- положительные и соотв. отрицательные значения должны встречаться с равными вероятностями. И эти вероятности через элементарные функции не выражаются (кажется).

И не надо. Разложите свою функцию, "подозрительную на характеристичность", в обычный ряд Фурье по комплексным экспонентам. Набор коэффициентов Фурье и будет давать вероятностное распределение дискретной случайной величины, принимающей все возможные целочисленные значения.

(Только напоминаю: надо ещё убедиться в неотрицательности всех этих коэффициентов, иначе дело швах.)

[alisa-lebovski]

Не надо ни Фурье, ни комплексных экспонент.
Надо разложить функцию в ряд по степеням косинуса.
Косинус - это характеристическая функция.

[MaximVD]

Для проверки является ли некоторая функция характеристической функцией случайной величины или нет, можно использовать теорему Бохнера - Хинчина (см., например, А.Н.Ширяев "Вероятность - 1"). Она даёт необходимое и достаточное условие того, что некоторая функция является характеристической.
Однако, в вашем случае, как мне кажется, достаточно сложно будет проверить выполнение условий этой теоремы, поэтому лучше придумать что-либо другое.