Ранг матрицы при умножении

[kevra]

Изменится ли ранг матрицы, если ее слева или справа умножить на невырожденную матрицу?

Как доказать что нет?

[mkot]

Если вы знаете формулу $\mathrm{rnk} AB \leq \min(\mathrm{rnk} A,\mathrm{rnk} B)$, то примените её два раза. А если нет, то докажите её и примените два раза.

[kevra]

Спасибо.

[ewert]

mkot в сообщении #389049 писал(а):

примените её два раза. А если нет, то докажите её и примените два раза.

К чему такие сложности, всё тривиальнее и идейнее. Если $B=VA$, то каждый столбец $B$ -- это результат умножения на $V$ соответствующего столбца $A$. Невырожденность $V$ означает, что любой ненулевой вектор после умножения на $V$ остаётся ненулевым и, в частности, отличие от нуля любой линейной комбинации столбцов матрицы $A$ равносильно отличию от нуля такой же комбинации столбцов матрицы $B$. Т.е. линейная независимость некоторого набора столбцов $A$ равносильна линейной независимости соответствующих столбцов $B$ и, следовательно, ранги этих матриц совпадают.

[mkot]

ewert в сообщении #389054 писал(а):

К чему такие сложности, всё тривиальнее и идейнее.

Смотря с какой стороны смотреть =). Ваши рассуждения примерно повторяют рассуждения, которые нужны для доказательства формулы ранга произведения. А если она известна, то мой вариант тривиальнее. Если не известно, то мы доказываем более общий случай, а это идейнее.