Шарик и две лунки

[caxap]

Есть две лунки. В начальный момент времени в первой лунке лежит шарик. Через $\frac 12$ с шарик перемещается во вторую лунку, ещё через $\frac 14$ с -- опять в первую, через $\frac 18$ с -- во вторую, и т. д. Где будет шарик через 1 с? (Считаем мир математически идеальным: шарик выдерживает любые перегрузки, может перемещаться с любой скорость и т. д.)

Или, если уж идеальной физики не бывает, рассмотрим математическую задачу: есть функция $f(t)$: $f(0)=0$, а в каждой точке частичной суммы ряда $\sum_{k\ge 1}\frac 1{2^k}$ она испытывает скачок с $1$ на $0$ или наоборот. Чему равно $f(t)$ при $t>1$?

[ИСН]

Охота Вам суммировать расходящиеся ряды...

[gris]

Ваша функция попросту неопределена в точке 1. Можно было бы доопределить её по непрерывности, но таковой там не наблюдается.
Физическая задача тоже не имеет решения. Она эквивалентна такой: передо мной две лунки. Я бросаю шарик в одну из них. В какой из них он будет находиться? Иногда можно говорить о вероятности какого-то результата, но в Вашем случае вряд ли удастся построить вероятностное пространство.
Так что ответ один: не определено и даже о вероятности сказать ничего нельзя.

А разве ряд расходится? Я так понял, что автор имел в виду, что функция, в 0 равная 0 при определённых иксах меняет значение. Провда зачем тут ряд, можно было бы и попроще...

Дошло. Вы имели в виду сумму скачков.

[caxap]

gris в сообщении #388714 писал(а):

Она эквивалентна такой: передо мной две лунки. Я бросаю шарик в одну из них. В какой из них он будет находиться?

Если честно, не понял аналогии. У нас есть две лунки: правая и левая. Сначала шарик в левой. Черезщ полсекунды он перемещается в правую, ещё через четверь -- в левую, и т.д. Ряд $\sum_{k\ge 1}\frac 1{2^k}$ сходится, т.е. все перемещения произойдут за конечное время (1 с). А что будет после?

-- 18 дек 2010, 13:56 --

Вот если рассмотреть похожую задачу: шарик (опять же в идеальном математическом мире) падает на стол, отталкивается и подлетает на половину исходной высоты и т. д. Тут тоже шарик бесконечно раз оттолкнётся от стола (и бесконечно раз поменяет направление движения), но промежуток между отталкивании будет $\to 0$ и за конечное время он остановится (ряд сходится).

А теперь предположим, что после каждого отталкивания цвет стола будет меняться (с красного на синий и наоборот). После первого отталкивания стол поменялся на синий. Какого цвета будет стол, когда шарик остановится?

[BapuK]

(Оффтоп)

по-моему что-то подобное было уже в дискуссионом разделе, только там был черт, шары и мешки

[MrDindows]

В двух лунках одновременно=)
Какбы предположим что во время $t_1=1c$ он находится в первой лунке, тогда во второй лунке он будет находится через время$ t=\frac1{2^k}, k \to \infty $ Значит $t \to 0$.
Тоесть во второй лунке он будет находится во время $t_1+t=1c $=))

[caxap]

(MrDindows)

:?

MrDindows в сообщении #388764 писал(а):

В двух лунках одновременно=)

Шарик один, лунки две $\Rightarrow$ в каждый конкретный момент времени одна лунка свободна.

MrDindows в сообщении #388764 писал(а):

Какбы предположим что во время $t_1=1c$ он находится в первой лунке, тогда во второй лунке он будет находится через время$ t=\frac1{2^k}, k \to \infty $.

Не. Если при $t=1$ с шарик находится в какой-то лунке, то там он и останется навечно.

Я понимаю, что функция

caxap в сообщении #388699 писал(а):

$f(t)$: $f(0)=0$, а в каждой точке частичной суммы ряда $\sum_{k\ge 1}\frac 1{2^k}$ она испытывает скачок с $1$ на $0$ или наоборот.

рекуррентно определяется через свои предыдущие значения. А так как при $t=1$ функция неопределена (так же как неопределён $\lim\limits_{x\to\infty} \cos x$), то и все последующие значения ($t>0$) функции неопределены.

Но это математика. Но предположим, что мы очутились в идеальном мире, где шарик может переносить любые перегрузки, нет ограничения на скорость и прочих гадостей. Поставим там реальный опыт. Что тогда будет?

-- 18 дек 2010, 15:58 --

(Оффтоп)

Если бы я был злостным алтернативщиком, я бы сказал, что данный мысленный эксперимент доказывает, что время обязано квантоваться и быть дискретным. Но я таким не являюсь и поэтому искренне хочу разобраться в этом "парадоксе".

[gris]

caxap, браво! В идеальном мире Вы собираетесь ставить реальный эксперимент.
Вот наоборот - это и есть теоретическая физика, мне кажется.

[MrDindows]

Я вообще шутил, но почему

Цитата:

Если при $t=1 $с шарик находится в какой-то лунке, то там он и останется навечно.

ведь в условии про остановку шарика ничего не говорится, и он наоборот ускоряется, значит в одной лунке остаться никак не может=)

А так как его скорость будет настолько бешеной ( уж точно больше скорости света), то для нас он будет находится одновременно в двух лунках=)
Как говорится:одна нога здесь, другая - там )

[caxap]

MrDindows в сообщении #388770 писал(а):

ведь в условии про остановку шарика ничего не говорится, и он наоборот ускоряется, значит в одной лунке остаться никак не может=)

Не. Функция $f(t)$ (см. выше) испытывает скачок только в точках $x_n$, где $x_n=\sum_{k=1}^n \frac1{2^k}$, при $t=0$ и далее она не меняется. Как я уже писал, ряд сходится, то есть все движения шарика кончаться через 1 с (так же как кончаться все движения попрыгунчика, который подпрыгивает от стола).

gris, надеюсь, вы поняли, что я имел в виду. Я просто плохо умею выражать свои мысли. Берём идеальный мир и проводим там эксперимент.

-- 18 дек 2010, 16:08 --

MrDindows в сообщении #388770 писал(а):

уж точно больше скорости света)

Повторюсь: никаких ограничений на скорость нет. Шарик выдерживает всё, что угодно. Пускай он -- элементарнейшая из элементарныйх частиц и не подвержена какому-либо распадению при любых ситуациях. Я, вообще-то, и поместил задачу в "(М)", ибо она математическая, а не физическая.

-- 18 дек 2010, 16:13 --

Нагуглил немного: в книге Гарднера "А ну-ка, догадайся" есть аналогичная задачка про лампочку, которая включается и выключается по такому же алгоритму. Только там больше ничего путёвого не написано

[gris]

Всё-же я считаю, что пример с фукцией не подходит. Там всё ясно. Вы определяете функцию на интервале $[0;1)$, а что дальше? Как она определяется в точке $1$? Я знаю только способ доопределения по непрерывности (либо произвольный), но там её нет. Значения аргумента стремятся к пределу, а значения функции нет.
То же и с перекраской стола. Не все эксперименты возможны даже в идеальном мире, так как в нём действуют законы, даже более жёсткие, чем в реальном. Описанный эксперимент попросту невозможен в мире, который Вы описали. Это равнозначно тому, что при условии того, что стол может быть окрашен только в красный и синий цвет, я выкрашу его в жёлтый.

[MrDindows]

Бесконечность - число чётное или нечётное?=)

[Dan B-Yallay]

MrDindows в сообщении #388779 писал(а):

Бесконечность - число чётное или нечётное?=)

Конечно четное, она же на 2 запросто делится и получается две бесконечности.

[MrDindows]

Значит ответ будет в первой лунке)

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Шарик после подобного бесконечного издевательства тоже развалится пополам. Будет полшарика в первой лунке, а другая половина - во второй. )

А вообще говоря Вам уже ответили:

gris писал(а):

Вы определяете функцию на интервале $[0;1)$...

а спрашиваете про ее значение в точке 1.