Помогите решить интеграл или пните куда копать

[m0nstr0]

Помогите разобраться с интегралом, очень плохо с интегралами решаю уже 2 - й день не могу и все тут
$\int \frac{dx}{16-9x^4}$
дошел только до сюды а дальше не могу понять что делать
$\int \frac{dx}{16-9x^4} = \int \frac{dx}{(4-3x^2)(4+3x^2)}=\frac{1}{8}(\int \frac{dx}{4-3x^2}+\int \frac{dx}{4+3x^2})$
подскажите пожалуйста

[gris]

Вы на верном пути. Первый интеграл можно ещё разложить, а вообще - это уже практически табличные. Ну или легко к ним приводятся несложной заменой.

[m0nstr0]

у меня получилось следующее:

$\frac{1}{8}(\frac{1}{4}( \int \frac{dx}{2-\sqrt{3}x} + \int \frac{dx}{2+\sqrt{3}x} )+\int \frac{dx}{4+3x^2})$

Затем я 2 внутренних интеграла взял в -1 степень и избавился от дроби

$\frac{1}{8}(\frac{1}{4}( \int (2-\sqrt{3}x)^{-1} dx+ \int (2+\sqrt{3}x)^{-1} dx )+\int \frac{dx}{4+3x^2})$

Это получились как оказалось табличные интегралы если верить Википедии :)

$\frac{1}{8}(- \frac{ln|2- \sqrt{3}x|}{4 \sqrt{3}} + \frac{ln|2+ \sqrt{3}x|}{4\sqrt{3}}+\int \frac{dx}{4+3x^2})$

а вот для $\int \frac{dx}{4+3x^2})$ ммм нашел вот такой табличный интеграл:
$\int \frac{dx}{a^2x^2+b^2} = \frac{1}{ab}arctan\left(\frac{ax}{b} \right)$

вроде подходит если $\int \frac{dx}{4+3x^2})$ представить в виде:
$\int \frac{dx}{ (\sqrt{3})^2x^2+2^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}arctan\left(\frac{\sqrt{3}x}{2} \right)$

Значит ответ:
$\frac{- ln|2 - \sqrt{3} x| + ln|2+\sqrt{3}x| + 2 arctan \left( \frac{ \sqrt{3}x }{2} \right) }{32 \sqrt{3} }$

я надеюсь я решил правильно?

upd я нашел в интернете онлайн калькуляторы интегралов ответ вроде сошелся за исключением что вместо arctan у них tan в -1 степени.

[Dan B-Yallay]

m0nstr0 писал(а):

upd я нашел в интернете онлайн калькуляторы интегралов ответ вроде сошелся за исключением что вместо arctan у них tan в -1 степени.

$ \text{arctan} x= \tan^{-1}x \hspace{20pt} \Big(\ne \dfrac 1 {\tan x} \Big) $

[Алексей К.]

Не стоит забывать про Постоянную Интегрирования.

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #388625 писал(а):

$ \text{arctan} x= \tan^{-1}x \hspace{20pt} \Big(\ne \dfrac 1 {\tan x} \Big) $

Увы, равняется. Минус единичка означает обращение только для абстрактных функций, да и то лишь в зависимости от контекста. В общем -- безграмотное обозначение.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Я полностью согласен. Но тот же $\LaTeX$ такогой функции как \$\text{arctan}$ знать не хочет. Может матпакет у ТС тоже с причудами и обращение тангенса пишет через ...

[gris]

(Оффтоп)

Как не хочет знать? $\arctan x$ даже в википедии есть. Пишется именно \arctan x

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Я к тому, что у меня ЛаТеХ почему-то отображал арктангенс как $arctan$ как будто бы тот не является стандартной матфункцией. А здесь на сайте все нормально. Странно