2 замечательный предел

[mib1988]

Помогите решить предел:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{2x}$

Понимаю что он сводится ко 2 замечательному пределу, но строго его свести сам не могу:(

[Joker_vD]

Ко второму? С чего бы это? Ну-ка, быстро разделите числитель и знаменатель на $x$ и прикиньте, куда стремятся основание и показатель.

[Gortaur]

дробь внутри преобразовать, двойку вынести подальше, расписать как произвдение двух одинаковых пределов, использовать терему что пре... про... равен про... пре...лов.

[mib1988]

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{2x}=\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^2=...$
а дальше что?
получается неопределенность бесконечность в степени ноль... можно предложить замену x=1/y, но она ничего не даст... что делать?

[ИСН]

Не прошло и часа с тех пор, как здесь видели одного человека, который дерзал произносить слова "замечательный предел"...

[yk2ru]

Если $x$ стремится к нулю, то обратная величина от неё ...

[mib1988]

ИСН в сообщении #388562 писал(а):

Не прошло и часа с тех пор, как здесь видели одного человека, который дерзал произносить слова "замечательный предел"...

Чтоб это был замечательный предел х должен стремиться к бесконечности в этой формуле, свести к нему у меня так и не получилось...

yk2ru в сообщении #388567 писал(а):

Если $x$ стремится к нулю, то обратная величина от неё ...

к бесконечности, но куда это применить?

[ИСН]

Ах да, там наоборот. Ну возьмите логарифм.

[mib1988]

ИСН в сообщении #388573 писал(а):

Ах да, там наоборот. Ну возьмите логарифм.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{2x}= \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^2= \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} e^{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)}^2= \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} e^{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)}^2=... $
Вы имели ввиду эту операцию?...
Дальше опять не знаю ибо получается логарифм бесконечно большой переменной, а не малой...
Не подумайте, что я неуч:) просто уже очень давно не решал пределы, и любая тонкость в ступор вводит...

[neo66]

(Оффтоп)

mib1988 в сообщении #388572 писал(а):

Чтоб это был замечательный предел...

Интересно, что за идиоты морочат детям голову всякой мурой?

[ИСН]

Да, эту. Теперь ещё одно усилие. Этот предел обычно замечательным не называют, но важен он не менее. Надо один раз как-нибудь его взять и запомнить. У Вас какие инструменты есть? Лопиталем можно? Тогда переворачивайте x и...

[mib1988]

ИСН в сообщении #388578 писал(а):

Да, эту. Теперь ещё одно усилие. Этот предел обычно замечательным не называют, но важен он не менее. Надо один раз как-нибудь его взять и запомнить. У Вас какие инструменты есть? Лопиталем можно? Тогда переворачивайте x и...

Поясните, как я воспользуюсь правилом Лопиталя, если для него нужна неопределенность 0/0 или беск/беск? или я чего то не понимаю?

[ИСН]

Дак переворачивайте x...

[caxap]

(Оффтоп)

Не знаю, как у ТС, но нам в универе ещё до Лопиталя говорили, что логарифм растёт ооочень медленно, а экспонента -- ооочень быстро. Тут этого достаточно и не надо никаких производных считать.

[ИСН]

(Оффтоп)

caxap, Ваши термины, хотя вроде бы и просты, требуют более глубокого понимания. Так-то понятно, что джедай 80 уровня вообще не применяет никаких приёмов, теорем и правил - он просто указывает пальцем на примеры, и те исчезают. Но чтобы до этого дойти, надо...