Посчитать несобственный интеграл

[zluka]

Не получается взять интеграл
$\int_0^\infty \frac{x\cos x}{\sh x}$ dx
Подскажите пожалуйста контур или замену какую-нибудь...

[Yakov]

$\frac{\pi}{2+2 \ch \pi} = 0.39190 \ldots$

[Padawan]

Если разложить $\sh x$ в ряд по степеням экспоненты, а потом почленно проинтегрировать, получится ряд
(если нигде не ошибся)

$$ 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n+1)^2-1}{((2n+1)^2+1)^2}=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(2n+1)^2-1}{((2n+1)^2+1)^2} $$

Такие суммы хорошо считаются при помощи вычетов. Тем более что корни у знаменателя не страшные.

-- Пт дек 17, 2010 12:25:25 --

Получается $\frac{\pi^2}{2+2\ch\pi}$

[sup]

Все стандартно. Сначала "удвоим" интеграл, заменив 0 на $-\infty$. Потом замена $z=e^x$. Получим (с точностью до множителя)

$$J=\int \limits_0^{\infty} \frac{ln(z)cos(ln(z))}{z^2-1}dz$$

Дальше - дело техники. Надо рассмотреть пару интегралов

$$J=\int \limits_0^{\infty} \frac{ln^2(z)z^{\pm i}}{z^2-1}dz$$

[zluka]

Спасибо.