Диффуры

[Xoma]

Помогите пожалуйста объяснить пример
$y(xy''+y')=xy'^2(1-x)$
Пологая $y'=yz(x)$
Тогда получим $(xz)'+(xz)^2=0$
Как они получили последнее равенство???я понимаю там конечно преобразования какие-то
Но можно по точнее,сижу никак не понимаю

[Padawan]

А Вы подставьте $y=e^{\int z dx}$.

[ewert]

Xoma в сообщении #387953 писал(а):

Как они получили последнее равенство???

Такие вещи если верны, то получаются в лоб. Просто подставьте $y'=yz$ и, соответственно, $y''=y'z+yz'=yz^2+yz'$ -- там всё посокращается.

Да, а как эту подстановку можно угадать. Если немножко присмотреться, то там проглядывает характерное выражение $y''y-{y'}^2$:

$x(y''y-{y'}^2)=-x^2{y'}^2-yy';$ делим на $y^2$:

$x\left(\dfrac{y'}{y}\right)'=-x^2\left(\dfrac{y'}{y}\right)^2-\dfrac{y'}{y}.$

[EtCetera]

Здесь, кстати, если приглядеться, можно и без (такой) замены обойтись:
$y(xy')'=xy'^2(1-x)$
$(xy')y'-y(xy')'=(xy')^2$
$\left(\frac{y}{xy'}\right)'=1$

[Xoma]

Спасибо разобрался