Задача по гидродинамике (сплюснутость Земли).

[Lexivore]

Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вращением, считая Землю однородным несжимаемым жидким шаром.
Указание. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости, равен $-C/R$, где $C$ - некоторая константа, $R$ - расстояние до центра тяготения. Потенциал центробежных сил, отнесенных к единице массы жидкости, равен $-(w^2r^2)/2$, где $w$ - угловая скорость вращения жидкого объема, $r$ - расстояние до оси вращения.

Сплюснутость, насколько я понимаю, это в некотором смысле отношение наибольшего диаметра к наименьшему, при вращении. Но что можно связать с этими величинами и от чего оттолкнуться, чтобы их найти, я придумать не могу. Хотелось бы понять "план" действий для решения этой задачи.

[Андрей123]

Уравнение поверхности жидкости будет $U=const$, где $U$ - потенциал сил.

[Lexivore]

А откуда это следует, если не секрет?
Исходя из условия, потенциал сил будет суммой двух потенциалов из указания, т.е. уравнение поверхности примет вид: $-C/R-w^2r^2/2=C_1=const$.
Отсюда получаем $R$ как функцию $R(r)=-2C/(2C_1+w^2r^2)$.
Нужно найти $R_m_a_x$ и $R_m_i_n$. Очевидно, что $R_m_a_x=R|_r_=_0=-C/C_1$.
$Rmin=R|_r_=_R$. Из последнего получаем уравнение третьей степени:
$R^3w^2+2C_1R+2C=0$. Отсюда получим $R_m_i_n$, пока еще не получил. Но вот еще момент, не дающий мне покоя. Явно видно что в итоге для сплюснутости выйдет формула, зависящая, в общем, от $w, C_1, C$. А ответ этой задачи - число.

[Lexivore]

Корни вышеуказанного кубического уравнения получаются довольно ужасными выражениями от заданных коэффициентов. Раз ответом на задачу является число, то может быть можно подставить вместо $w,C_1,C$ численные значения приближенные? Странно тогда, почему не конкретизирована константа $C$ в указании к задаче и что делать с нами введенной $C_1$ так и вовсе не ясно, а она координальным образом влияет на корни этого уравнения. Из чего ее конкретизировать?
P.S. Все еще интересна природа нашего суждения о том что уравнение поверхности жидкости будет $U=const$ , где $U$ - потенциал сил. Может быть в этом можно будет найти какие то начальные данные, например когда шар неподвижен и нет вклада потенциала центробежных сил.

[Munin]

Константы берутся из известных массы и объёма Земли, и длины суток (звёздных). $U=\mathrm{const}$ - это обычная гидростатика, если поверхность жидкости не удовлетворяет этому уравнению, то часть жидкости может перетечь с "высокого" места в "низкое", и выиграть энергию.

[Lexivore]

Всем большое спасибо, задача решена.