Деление треугольника

[Gortaur]

Если отметить на сторонах треугольника середины и соединить их, получим 4 равных треугольника подобных изначальному. Есть ли какие-нибудь факты для тетраэдров большей размерности (3,4,n)?

[EtCetera]

Для $n=3$ после отрезания 4-х тетраэдров в центре останется октаэдр.
Для $n=4$... после отрезания 5-ти 4-симплексов в центре, по идее, должен остаться многогранник, гранями которого являются 5 тетраэдров и 5 октаэдров (каждый из октаэдров соприкасается с 4-мя тетраэдрами и 4-мя октаэдрами, каждый тетраэдр соприкасается с 4-мя октаэдрами). Но я не уверен.

[Gortaur]

То есть это равносильно тому, что деление на подобные симплексы не будет?

[EtCetera]

Ну, октаэдр на правильные тетраэдры, вроде бы, разбить не получится...

[Gortaur]

Вы имеете ввиду, что это контрпример для случая изначально правильного тетреэдра?

[ИСН]

Контрчто? Минуточку, а соединять точки чем? Линиями? Тогда начиная с размерности 3 никакого разрезания вообще не будет, а будет большой тетраэдр с какими-то линиями, процарапанными на боках (а также в толще). Плоскостями? Какими? Через все тройки точек? Тогда не будет октаэдра, его тоже разрежет на куски. (Которые, да, уж никак не будут правильными тетраэдрами.) Или через не все? Тогда через какие?

[Gortaur]

Вот и вопрос - отметили серединные точки. которые вкупе со старыми вершинами будут являться вершинами новых симплексов. Я поэтому и не стал говорить серединные линии - потому что не факт как лучше разрезать в $\mathbb{R}^n$. Словом, вопрос такой: можно ли разрезать симплекс в n-мерном пространстве на ему подобные так же легко, как и на плоскости (я имею ввиду под словом легко, что есть уже алгоритм разработанный). Если да, то как - где будут вершины новых симплексов - на сторонах, гранях?

[ИСН]

Тогда бы было можно замостить ими всё пространство. А уже тетраэдрами, как известно, нельзя.

[Gortaur]

В смысле равными?

[ИСН]

Ну да. Собрали бы из них один большой, из таких - ещё больший, и т.д.

[Gortaur]

Тема закрыта, спасибо - я открою новую тему с продолжением данной проблемы.