Вложенные симплектические многообразия

[Bulinator]

paha
Ваша формулировка задачи правильная, но как-то слишком общая. "Степень неточности" 1-формы есть ранг матрицы Якоби из сообщения выше. А как это выразить в терминах 1-форм?

[paha]

paha в сообщении #387104 писал(а):

Дано симплектическое многообразие $(M,\omega)$ и векторное поле $Y:M\to TM$, причем 1-форма $\alpha_Y$, определенная как $\alpha_Y(X)=\omega(X,Y)$, не является точной (иначе система --гамильтонова).
Найти такое симплектическое $(M',\omega')$ и симплектическое вложение $f:M\to M'$ ($f^*\omega'=\omega$), что $\alpha_{f_*Y}$ -- точная форма.

такого, увы, не бывает:(((
Если форма $\alpha_{f_*Y}$ точна, то точна и форма $\alpha_Y$

Таким образом если симплектическая структура фиксирована и $\alpha_Y$ не точна, то поток векторного поля $Y$ не является гамильтоновым.
Я тут вспомнил, что такие векторные поля называются строго гамильтоновыми, а гамильтоновыми -- поля, для которых форма $\alpha_Y$ замкнута.

В принципе, если так уж хочется, чтобы данное векторное поле было гамильтоновым -- меняйте симплектическую структуру:)) Вложениями ничего не добиться

[Munin]

paha в сообщении #387104 писал(а):

Вы не перепутали?

Запросто.

-- 14.12.2010 01:02:29 --

"Путь к реальности", § 14.8, с. 274:

Цитата:

Локальная структура симплектического многообразия являет пример того, чт́о можно назвать «гибкой» структурой. Не существует, например, понятия кривизны симплектического многообразия, которое позволило бы локально отличать одно симплектическое многообразие от другого. Если мы имеем два вещественных симплектических многообразия одинаковой размерности (и одинаковой «сигнатуры», сравните с § 13.10), то они локально полностью идентичны (в том смысле, что для любой точки $p$ одного многообразия и любой точки $q$ другого многообразия существуют открытые множества $p$ и $q,$ совпадающие между собой)[14.13]. Это полностью противоположно ситуации в случае (псевдо)римановых многообразий или многообразий, на которых просто задана связность. В последних случаях тензор кривизны (и, например, его различные ковариантные производные) определяют некоторую различимую локальную структуру, которая, скорее всего, будет различной для разных многообразий.

Существуют и другие примеры подобных «гибких» структур. К ним относится комплексная структура, определенная в § 12.9, позволяющая интерпретировать $2m$-мерное вещественное многообразие как $m$-мерное комплексное многообразие. В этом случае гибкость очевидна, поскольку ясно, что кроме комплексной размерности $m$ не существует характеристики, которая локально отличала бы одно многообразие от другого (или от $\mathbb{C}^m$). Такая структура будет оставаться гибкой и в том случае, если придать ей комплексную (голоморфную) симплектическую структуру (и тогда нам не придется даже заботиться о понятии «сигнатуры» для комплексной величины $S_{ab};$ см. § 13.10).

Можно привести множество других примеров гибких структур. Одной из них является вещественное многообразие с заданным на нем векторным полем, не всюду равным нулю. В то же время вещественное многообразие с двумя векторными полями общего вида не будет гибким. Как мы увидим в § 33.11, понятие гибкости играет определенную роль в теории твисторов.

[14.13]. «Совпадающие» означает здесь, что каждое из множеств можно отобразить на другое таким образом, чтобы симплектические структуры соответствовали одна другой.

[paha]

Munin в сообщении #387189 писал(а):

"Путь к реальности", § 14.8

да уж... назвать теорему Дарбу "гибкостью" -- это сильно:)))
локально-то все одинаково устроено, да

-- Вт дек 14, 2010 01:17:06 --

но вот римановым сделать можно любое приличное многообразие... и многими способами. А вот симплектическим -- затруднительно

[Bulinator]

paha в сообщении #387180 писал(а):

Если форма $\alpha_{f_*Y}$ точна, то точна и форма $\alpha_Y$

Точно, потому что отображение и взятие $d$-коммутирующие операции.

Значит так по тупому не получится. Изменять симплектическую форму можно рассмотрев какое-нибудь вложение в другое симплектическое многообразие $(M^\prime,\omega^\prime)$ $f:M\mapsto M^\prime$, такое, что якобиан преобразования $C^\prime\mapsto y^\prime$ отличен от нуля(обозначения из сообщения с оффтопом на первой странице). Очевидно, этого всегда можно добиться. Действительно, как $M^\prime$ можно взять кокасательное расслоение $T*M$ с симплекической формой $dp\wedge dy$, где $p$-координаты слоя.


Однако физически обоснованно будет только такое изменение симплектической формы, что новая форма была равна старой + 2-форма $F=dA$, где $A$- вектор потенциал. (Включаем магнитное поле).

-- Вт дек 14, 2010 23:33:32 --

Меня осенило.

Тот факт, что система уравнений
$y_0^i=y^i(C_1,\ldots, C_{2n},0)$
разрешима относительно $C$ еще недостаточен для того, чтобы уравнение
$\alpha_Y=dH$ имело решение.

[paha]

Bulinator в сообщении #387529 писал(а):

Тот факт, что система уравнений
$y_0^i=y^i(C_1,\ldots, C_{2n},0)$
разрешима относительно $C$ еще недостаточен для того, чтобы уравнение
$\alpha_Y=dH$ имело решение.

вот я и не понимал -- при чем тут какие-то йакобинцы(((

-- Вт дек 14, 2010 23:21:18 --

Bulinator в сообщении #387529 писал(а):

Однако физически обоснованно будет только такое изменение симплектической формы, что новая форма была равна старой + 2-форма $F=dA$, где $A$- вектор потенциал. (Включаем магнитное поле).

это и означает переход к гомологичной 2-форме (разность -- точна)