Квадрика, пересечение плоскости и гиперболоида (ангем)

[enever]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с вопросом.

Необходимо написать такое уравнение плоскости, которое пересекая однополосный гиперболоид $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}-\frac{z^2}{5} = 1$ образует линию, центр которой находится в $(6;6;5)$.

Я пробовал задать эту плоскость в параметрическом виде: два произвольных ортонормированных и ортогональных вектора и данная точка, но получается шесть неизвестных и одно уравнение.

Если проанализировать расположение точки и поверхности, то данная точка расположена вне поверхности, поэтому кривая по которой пересекаются поверхность и плоскость может быть только гипербола.

Но как этим воспользоваться я не знаю. Подскажите, что делать хоть дальше?
Как вообще такое решается.

[ИСН]

У гиперболы бывает центр?

[enever]

ИСН в сообщении #387500 писал(а):

У гиперболы бывает центр?

Одна единственная точка -- точка симметрии.

[Хорхе]

Цитата:

Я пробовал задать эту плоскость в параметрическом виде: два произвольных ортонормированных и ортогональных вектора

Не понял. Почему два? Ваше пространство четырехмерное?

А что если отразить относительно этой точки гиперболоид и пересечь с собой?

[enever]

Хорхе в сообщении #387505 писал(а):

Не понял. Почему два? Ваше пространство четырехмерное?

Почему четырёхмерное? Оно трёхмерное.
А векторов два, так как я рассматриваю проекцию сечения на данную плоскость (плоскость соответственно задаётся двумя направляющими векторами и точкой).

-- Вт дек 14, 2010 20:21:58 --

Хорхе в сообщении #387505 писал(а):

А что если отразить относительно этой точки гиперболоид и пересечь с собой?

Не совсем понял идею...

[Хорхе]

Ааааа...

Я обычно плоскость одним вектором задаю -- нормалью.

Кстати, пересеките, как я сказал. Напишите уравнение гиперболоида, симметричного относительно этой точки. Скомбинируйте с данным уравнением. Получится система из двух уравнений. Хитрыми манипуляциями исключите квадраты и получится уравнение искомой (или искомое уравнение?) плоскости.

[ИСН]

Блин, если точка находится вне гиперболоида, как она может

-- Вт, 2010-12-14, 21:23 --

а, нет, может.

[Хорхе]

(спойлер)

$3x+2y-z=25$.

[enever]

Хорхе в сообщении #387508 писал(а):

Напишите уравнение гиперболоида, симметричного относительно этой точки.

Извиняюсь за свою неграмотность, но что подразумевается под гиперболоидом, симметричным относительно точки. Просто я такого понятия не встречал. Можно как-то поподробнее, пожалуйста.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Гиперболоидом, симметричным относительно точки данному, называется гиперболоид, симметричный данному относительно точки. (Спасибо, капитан!)

Давайте с другой стороны. Вот пусть есть точка с координатами $(x,y,z)$. Каковы координаты точки, симметричной ей относительно точки $(6,6,5)$?

[enever]

Хорхе в сообщении #387514 писал(а):

Давайте с другой стороны. Вот пусть есть точка с координатами $(x,y,z)$. Каковы координаты точки, симметричной ей относительно точки $(6,6,5)$?

$(12-x;12-y;10-z)$

[Хорхе]

Теперь подставьте это в исходное уравнение. Получится уравнение гиперболоида, симметричного данному относительно точки $(6,6,5)$. Что далее, я уже описал.

[enever]

Ура получилось!!!

Только вопросы:
1) Почему (на основе каких размышлений) данное решение приводит к результату?
2) Такое сечение единственно?

Знаю, что эти вопросы будут заданы...

[Хорхе]

Ну смотрите. Заранее прошу прощение за излишнюю многословность, преподавательская привычка. Вот есть гиперболоид $\Gamma$. И есть плоскость $\Pi$, проходящая через точку $T$. Пусть $S_T$ -- симметрия относительно $T$. Мы знаем, что пересечение симметрично: $S_T(\Gamma\cap \Pi)= \Gamma\cap\Pi$. Поэтому это пересечение лежит заодно в $S_T(\Gamma)$, и в $S_T(\Pi)$ (последнее совпадает с $\Pi$, ведь плоскость, проходящая через точку, симметрична себе относительно точки, но это сейчас не очень важно). То есть мы можем сказать, что пересечение совпадает с таким: $\Gamma\cap S_T(\Gamma)\cap \Pi$. Мы уравнение плоскости $\Pi$ пока не знаем. В лоб нам делать не хочется. Поэтому такая идея: а вдруг нам повезет и ВНЕЗАПНО пересечение $\Gamma$ с $S_T(\Gamma)$ попало в одну плоскость? Проверим удачу: составим систему из уравнений $\Gamma$ и $S_T(\Gamma)$. Нам не надо ее решать. Чтобы доказать, что ее решение лежит в плоскости, достаточно просто вывести из нее уравнение некоторой плоскости. Отняли одно уравнение от другого... Удалось!

Вот, собственно, и все.

Вообще-то по-хорошему надо еще проверить, что данное пересечение не лежит в нескольких различных плоскостях одновременно, то есть на прямой. Впрочем, это достаточно очевидно.

[enever]

По поводу размышлений всё понятно. Спасибо большое.
По поводу единственности: данная плоскость единственное решение полученной системы получается...