Для дискретного процесса:

[Mary_strong]

Подскажите пожалуйста!
Для дискретного процесса:
$x_{n+1}=a_{11}x_n+a_{12}y_n+a_{13}z_n ,\\ y_{n+1}=a_{21}x_n+a_{22}y_n+a_{23}z_n ,\\ z_{n+1}=a_{31}x_n+a_{32}y_n+a_{33}z_n$
с начальными условиями $x_0=1, y_0=1, z_0=1$ вычислить $x_{10}, y_{10}, z_{10}$, найти $\lim \frac{x_n}{y_n}$.

Пусть $A-$ матрица коэффициентов $a_{ij}$. Тогда
$\begin{pmatrix} x_{10}\\ y_{10}\\ z_{10} \end{pmatrix}=A^{10}\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0\end{pmatrix}$
То есть получается, что нужно матрицу $A$ умножить саму на себя 10 раз!? Нет ли попроще способа вычисления $x_{10}, y_{10},z_{10}$? И ещё, как найти предел ?

[ИСН]

10 - это ещё ерунда; потом ведь придётся возводить в бесконечную степень, чтобы вычислить предел...

[Mary_strong]

и что же теперь делать ?

[Imperator]

Если хорошо возводится -- почему бы не возвести?

[Mary_strong]

ну а допустим, надо вычислить $x_{1000}, y_{1000}, z_{1000}$. Устанешь ведь умножать. А что с пределом делать? Я вообще не понимаю как его можно найти.

[alisa-lebovski]

Матрица дана в общем виде или конкретная?
По-моему, надо найти собственные значения и собственные вектора.

[Gortaur]

Попробуйте рассмотреть это в непрерывном случае - там-то известно как это сделать, может идея появится и для дискретного случая

[Gortaur]

Насчет предела возникла идея - что если поделить $x_{n+1}$ на $y_{n+1}$ и использовать, что при $n\rightarrow \infty$ имеем $\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\approx \frac{x_{n}}{y_{n}}$ если предел существует.

[Хорхе]

Вообще, alisa-lebovski права: Вам надо свести к ЖНФ, дальше все довольно просто.