Определение функции одной независимой переменной.

[Mitrius_Math]

Давно мучает этот вопрос... Конечно, интуитивно я понимаю, что такое функция. Но вот с определением проблема. В старых учебниках (типа Фихтенгольца) функция определяется как соответствие, в новых - как отображение, но, говоря про отображение, упоминают соответствие. Наш лектор по математическому анализу говорил, что некорректно определять функцию как соответствие, правильно - через отображение. А что такое отображение?.. Часто между понятиями "соответствие" и "отображение" ставится знак равенства. Так что же такое функция? Насколько корректно следующее определение?
Пусть$ X, \ Y$ - непустые подмножества множества вещественных чисел. Функцией называется множество упорядоченных пар чисел $(x, \ y)$ таких, что $x \in X, \ y \in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит по крайней мере в одну пару.

[Gortaur]

Когда мы начинаем с таких базовых понятий неизбежно сталкиваемся с тем, что некоторые слова используемые в первом определении также нуждаются в определении и так далее. Что же до корректности... для любого $x$ существуют (?) единственный $y$? и зачем упорядочивать пары? - это вроде выполнено, но вот "каждый $x$" и "каждый $y$" это не совсем ясно.
Далее, если каждый относится ко всем $x\in X$, то не всегда можно спокойно задать область определения функции - иногда возможно лишь только сказать, что функция определена для некоторых $x\in X$ - не говоря уж о том, что область значения может быть еще сложнее.

[Mitrius_Math]

Gortaur в сообщении #387123 писал(а):

зачем упорядочивать пары?

Хм... Но ведь $(x, \ y)$ и $(y, \ x)$ - это не одно и то же.

Gortaur в сообщении #387123 писал(а):

Далее, если каждый относится ко всем , то не всегда можно спокойно задать область определения функции - иногда возможно лишь только сказать, что функция определена для некоторых - не говоря уж о том, что область значения может быть еще сложнее.

А в чём тут проблема? Выберем $X$ и $Y$ так, как нам нужно.
Например, функция Дирихле. В этом случае $X= \mathbb{R}, \ Y=\{1; \ 0 \}$. Вроде бы, подходит под данное выше определение: для каждого рационального числа $x$ значение функции $y=1$, для иррационального $x$ значение $y=0$.

[AD]

Mitrius_Math в сообщении #387106 писал(а):

Насколько корректно следующее определение?
Пусть$ X, \ Y$ - непустые подмножества множества вещественных чисел. Функцией называется множество упорядоченных пар чисел $(x, \ y)$ таких, что $x \in X, \ y \in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит по крайней мере в одну пару.

Такое оно и есть. Вроде бы Дирихле это определение придумал, и сейчас оно всех устраивает, и все его подразумевают.
Давайте вот так скажем, чтобы совсем понятно было.

Пусть даны два множества, $X$ и $Y$, не важно какой природы. Любое подмножество $f\subset X\times Y$ называется отношением между $X$ и $Y$. Если отношение $f$ таково, что $(x,y_1)\in f, (x,y_2)\in f\Rightarrow y_1=y_2$, то $f$ называется функцией, или отображением, из $X$ в $Y$. Тогда множество $D(f)=\{x\in X:\exists y\in Y (x,y)\in f\}$ называется областью определения $f$, и для всякого $x\in D(f)$ существует единственный $y\in Y$, такой, что $(x,y)\in f$; тогда пишут, что "$y=f(x)$".

Вроде бы я ничего нового не сказал, да?

[Mitrius_Math]

AD, отображение как частный случай отношения, функция как синоним отображения? А в математическом анализе берём не произвольные множества, а подмножества множества вещественных чисел. При этом говорим об отображениях числовых множества (или числовых функций).
Кстати, а как тогда быть с многозначными функциями? Или данное понятие некорректно? Получается что в математическом анализе функция понимается лишь как однозначное отображение.

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #387323 писал(а):

Кстати, а как тогда быть с многозначными функциями?

Лично я понимаю многозначные функции как однозначные, только возвращают они не одно значение, а множество. Напр. $\operatorname{Arcsin} x=\{(-1)^k \arcsin x+\pi k\mid k\in \mathbb {Z}\}$, неопределённый интеграл и т. д.

[Quasus]

Mitrius_Math в сообщении #387323 писал(а):

Кстати, а как тогда быть с многозначными функциями? Или данное понятие некорректно? Получается что в математическом анализе функция понимается лишь как однозначное отображение.

Многозначные функции бывают. Они появляются в комплексном анализе. Там несколько другая интуиция. В теории множеств сначала фиксируют множества X и Y, между которыми действует отображение, и потом определяют само отображение. В комплексном анализе существенно понятие аналитического продолжения: функция может быть задана в некоторой области комплексной плоскости и допускать аналитические продолжения вдоль кривых, выходящих из этой области. При этом может получиться, что продолжения в одну точку по разным кривым дают разные результаты. Простейший пример: квадратный корень задаёт аналитическую функцию в окрестности единицы (считаем, что корень из 1 равен 1); если продолжить её в точку z = -1 по верхней полуплоскости, то получим значение i, а если по нижней, то -i. Более того, если обойти начало координат по единичной окружности, то в точке z = 1 получим второе значение функции: -1.

В комплексном анализе многозначные функции формализуются с помощью понятий аналитического продолжения или римановой поверхности.

С другой стороны, бывает и теоретико‐множественное понятие многозначного отображения X в Y: под таким отображением понимается отображение X в систему подмножеств Y (обычно пустое подмножество не допускается в качестве значения многозначного отображения). Это совсем другая теория.

-- Пн дек 20, 2010 03:38:38 --

caxap в сообщении #387389 писал(а):

неопределённый интеграл

С таким неопределённым интегралом знакомы только первокурсники. В математике хватает понятия первообразной. В теории интегрирования под неопределённым интегралом понимается интеграл как функция множества, по которому он берётся.

[AD]

Отделил собственноручно разведённый оффтопик о неопределенном интеграле сюда.