Элементы линейной алгебры

[vanja]

Нужно найти размерность и базис пространства решений$ \left\{ \begin{array}{l} x_1+3x_2-x_3-2x_4=0,\\ 2x_1+5x_2-8x_3-5x_4=0,\\ x_1+4x_2+5x_3+x_4=0 \end{array} \right. $
Преобразовав получил
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1+3x_2-x_3-2x_4=0,\\ -x_2-6x_3-x_4=0,\\ 2x_4=0 \end{array} \right. $ Правильно ли, что ранг будет равен 3, а размерность 2? И как далее поступить, чтобы найти базис?

[Day]

И правда, ранг = 3.
$x_4=0$ $x3$ - свободный $=t$ и выражаешь $x_1 x_2$
через $t$ Это будет общее решение. А там и до базиса рукой подать
А размерность = 1

[vanja]

опечатался, ранг =1
а дальше получится $x_4=0,x_2=-6x_3,x_3 \in R, x_1=-19x_3,x_3\in R$
$L=\{(-19x_3,-6x_3,x_3,0)|x_3\in R\}$ так?

[Joker_vD]

vanja в сообщении #386735 писал(а):

опечатался, ранг =1

Нет же, ранг — это кол-во уравнений в системе, которые остались после работы метода Гаусса. Так что ранг равен 3. А размерность в сумме с рангом должна давать число переменных.

[ewert]

vanja в сообщении #386735 писал(а):

а дальше получится $x_4=0,x_2=-6x_3,x_3 \in R, x_1=-19x_3,x_3\in R$
$L=\{(-19x_3,-6x_3,x_3,0)|x_3\in R\}$ так?

Со знаками чуть-чуть поднапутано. И потом -- доведите до конца: так что ж такое базис?...

[vanja]

Joker_vD в сообщении #386738 писал(а):

vanja в сообщении #386735 писал(а):

опечатался, ранг =1

Нет же, ранг — это кол-во уравнений в системе, которые остались после работы метода Гаусса. Так что ранг равен 3. А размерность в сумме с рангом должна давать число переменных.

да-да! сказывается наверно 4 утра)

ewert в сообщении #386749 писал(а):

vanja в сообщении #386735 писал(а):

а дальше получится $x_4=0,x_2=-6x_3,x_3 \in R, x_1=-19x_3,x_3\in R$
$L=\{(-19x_3,-6x_3,x_3,0)|x_3\in R\}$ так?

Со знаками чуть-чуть поднапутано. И потом -- доведите до конца: так что ж такое базис?...

$L=\{(19x_3,-6x_3,x_3,0)|x_3\in R\}$, знаки вроде поправил
а базисом будет
$e_1(,,,),e_2(,,,),a_3(,,,)$ вот только какие числа указать

[vanja]

И еще хотелось бы спросить, если дана задача:
Даны векторы$a(a_1,a_2,a_3),b(b_1,b_2,b_3),c(c_1,c_2,c_3),d(d_1,d_2,d_3)$в некотором базисе. Показать, что векторы $a,b,c$ образуют базис и найти координаты вектора $d$в этом базисе. Можно ли поступить так:
1) Преобразуем матрицу, узнаем ранг и ЛНЗ ли вектора
2)Пусть $D=A\cdot D'$, где $D$-старый базис, а $D'$-новый
А потом посчитать по формуле $D'=A^{-1}\cdot D$

[vanja]

Второе решил другим способом, а вот возвращаясь к первой задаче, $e_1(-3,-6,1,0)$???
Проверьте