Помогите взять интеграл

[Dilettante]

Приветствую! Имеется интеграл:

$$\frac {x^3 dx}{e^x-1}$$

Не могу никак взять. Пробовал заменять знаменатель на некоторую переменную, в итоге получал интеграл от логарифма в кубе который безуспешно пытался проинтегрировать по частям. С заменой самой экспоненты соответственно тоже не получилось. Подскажите, чем можно воспользоваться в данном случае? Что и чем заменить?

[Yu_K]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 29-1%29+dt

а он должен браться?

[Dilettante]

Вообще должен. Хотя посмотрев вольфрам альфа начинаю сомневаться) Я упустил при написании формулы - он определённый:

$$\int_{0}^{+\infty}\frac {x^3 dx}{e^x-1}$$

Вообще нам сказали проинтегрировать, а тут такие сложности оказываются.

[Yu_K]

Я тоже знаю - если он определенный.

[maxmatem]

Это достаточно распространённый интеграл
$ \[ \int\limits_0^\infty {\frac{{x^3 dx}} {{e^x - 1}}} = \frac{{\pi ^4 }} {{15}} \] $

А считается как мне помнится используя дзета функцию Римана.

[Dilettante]

Дзета функцию... Не представляю себе, что это (у нас такого не было и наверное не будет). Раз с этим интегралом такие трудности, то пожалуй скажу просто, что не смог взять. В любом случае, всем спасибо за внимание к теме

[Yakov]

Ну как, его очень просто взять:
$ \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x-1} = \int_0^{+\infty} \frac{x^3 e^{-x}}{1-e^{-x}} = \int_0^{+\infty} x^3 e^{-x} \left( \sum_{k = 0}^{\infty} e^{-k x} \right) = \int_0^{+\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} x^3 e^{-k x - 1}. $
Ряд сходится равномерно на $\mathbb{R^{+}}$.
Используя формулу для целочисленных значение $\Gamma$-функции, или интегрируя по частям, находим:
$ \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x-1} = 6 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^4}{15} $.