2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Константа Липшица
Сообщение10.12.2010, 20:20 


26/12/08
1813
Лейден
Здравствуйте - наконец, у меня легкий вопрос. Константа Липшица для $f(x,y) = \max(x,y)$ это $A=1$? Если да, то как это быстро получить (неохота разбираться со всеми возможными случаями).
И еще сюда :D есть две функции $g(x)$ и $h(x)$ гладкие на $\mathbb{R}$. Как можно оценить
$$
|\int\limits_\mathbb{R}[g(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)]\,dy|,
$$
если известно что $|g(x)-h(x)|\leq M$ и какие тогда условия нужны на $\phi$ и $\psi$ - ограниченность разности, интегралов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Константа Липшица
Сообщение11.12.2010, 13:08 


26/12/08
1813
Лейден
Что у меня получилось на данный момент: вопрос про константу для модулю все еще открыт, по интегралам есть новости.
Лучше рассмотрим такую задачу:
функции $g(x)$ и $h(x)$ заданы и непрерывны на компакте $E$. Кроме того $\phi(x,y),\psi(x,y)\geq 0$ для всех $x,y\in E$ и
$$
\int\limits_E \phi(x,y) dy = \int\limits_E \psi(x,y) dy = 1
$$
для всех $x\in E$ - то есть это плотности. Нужно оценить
$$
|\int\limits_E g(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)\,dy|.
$$
Я делаю следующие преобразования:
$$
|\int\limits_E g(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)\,dy| \leq |\int\limits_E g(y)\phi(x,y) - h(y)\phi(x,y)\,dy| + |\int\limits_E h(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)\,dy| \leq
$$
$$
\leq \max\limits_E|g(y)-h(y)| + \max\limits_E |h(y)|\int\limits_E|\phi(x,y) - \psi(x,y)|dy.
$$

Но мне данная оценка не нравится и сейчас я поясню почему. Задача следующая: есть последовательность функций $g_n(x)$ и $h_n(x)$ такая, что

a) $g_0(x) = h_0(x) = f(x)$ - непрерывны на $E$.

b) $$g_n(x) = \max\{f(x),\int\limits g_{n-1}(y)\phi(x,y)\,dy\}$$ и $$h_n(x) = \max\{f(x),\int\limits h_{n-1}(y)\psi(x,y)\,dy\}.$$

Несложно показать следующее:
1. $g_n$ и $h_n$ возрастают поточечно - то есть существуют поточечно предельные функции $h$ и $g$.

2. Все функции в последовательности ограничены константой $f_M := \max\limits_E |f(x)|$.

3. Если применять оценку какую я предложил, то получаем что $|g_n(x) - h_n(x)| \leq n f_M c$, где $c = \max\limits_E \int\limits_E|\phi(x,y) - \psi(x,y)|dy$. Чем плоха такая оценка - она стремится к бесконечности, хотя при этом у обоих последовательностей существуют конечные пределы. Помогите разобраться, как можно улучшить оценку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Константа Липшица
Сообщение11.12.2010, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Gortaur в сообщении #385884 писал(а):
Константа Липшица для $f(x,y) = \max(x,y)$ это $A=1$?

если метрики на области определения и области значений канонические, то надо заметить, что $|AB|$ и $|f(A)f(B)|$ инвариантны относительно сдвигов, поэтому можно считать $B$ началом координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Константа Липшица
Сообщение11.12.2010, 19:49 


26/12/08
1813
Лейден
Спасибо. Верно ли я понял, что $A=1$? По поводу остальной части вопроса есть идеи?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group