Что у меня получилось на данный момент: вопрос про константу для модулю все еще открыт, по интегралам есть новости.
Лучше рассмотрим такую задачу:
функции
и
заданы и непрерывны на компакте
. Кроме того
для всех
и
для всех
- то есть это плотности. Нужно оценить
Я делаю следующие преобразования:
Но мне данная оценка не нравится и сейчас я поясню почему. Задача следующая: есть последовательность функций
и
такая, что
a)
- непрерывны на
.
b)
и
Несложно показать следующее:
1.
и
возрастают поточечно - то есть существуют поточечно предельные функции
и
.
2. Все функции в последовательности ограничены константой
.
3. Если применять оценку какую я предложил, то получаем что
, где
. Чем плоха такая оценка - она стремится к бесконечности, хотя при этом у обоих последовательностей существуют конечные пределы. Помогите разобраться, как можно улучшить оценку.