Константа Липшица

[Gortaur]

Здравствуйте - наконец, у меня легкий вопрос. Константа Липшица для $f(x,y) = \max(x,y)$ это $A=1$? Если да, то как это быстро получить (неохота разбираться со всеми возможными случаями).
И еще сюда есть две функции $g(x)$ и $h(x)$ гладкие на $\mathbb{R}$. Как можно оценить

$$ |\int\limits_\mathbb{R}[g(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)]\,dy|, $$

если известно что $|g(x)-h(x)|\leq M$ и какие тогда условия нужны на $\phi$ и $\psi$ - ограниченность разности, интегралов?

[Gortaur]

Что у меня получилось на данный момент: вопрос про константу для модулю все еще открыт, по интегралам есть новости.
Лучше рассмотрим такую задачу:
функции $g(x)$ и $h(x)$ заданы и непрерывны на компакте $E$. Кроме того $\phi(x,y),\psi(x,y)\geq 0$ для всех $x,y\in E$ и

$$ \int\limits_E \phi(x,y) dy = \int\limits_E \psi(x,y) dy = 1 $$

для всех $x\in E$ - то есть это плотности. Нужно оценить

$$ |\int\limits_E g(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)\,dy|. $$

Я делаю следующие преобразования:

$$ |\int\limits_E g(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)\,dy| \leq |\int\limits_E g(y)\phi(x,y) - h(y)\phi(x,y)\,dy| + |\int\limits_E h(y)\phi(x,y) - h(y)\psi(x,y)\,dy| \leq $$

$$ \leq \max\limits_E|g(y)-h(y)| + \max\limits_E |h(y)|\int\limits_E|\phi(x,y) - \psi(x,y)|dy. $$

Но мне данная оценка не нравится и сейчас я поясню почему. Задача следующая: есть последовательность функций $g_n(x)$ и $h_n(x)$ такая, что

a) $g_0(x) = h_0(x) = f(x)$ - непрерывны на $E$.

b)

$$g_n(x) = \max\{f(x),\int\limits g_{n-1}(y)\phi(x,y)\,dy\}$$

и

$$h_n(x) = \max\{f(x),\int\limits h_{n-1}(y)\psi(x,y)\,dy\}.$$

Несложно показать следующее:
1. $g_n$ и $h_n$ возрастают поточечно - то есть существуют поточечно предельные функции $h$ и $g$.

2. Все функции в последовательности ограничены константой $f_M := \max\limits_E |f(x)|$.

3. Если применять оценку какую я предложил, то получаем что $|g_n(x) - h_n(x)| \leq n f_M c$, где $c = \max\limits_E \int\limits_E|\phi(x,y) - \psi(x,y)|dy$. Чем плоха такая оценка - она стремится к бесконечности, хотя при этом у обоих последовательностей существуют конечные пределы. Помогите разобраться, как можно улучшить оценку.

[paha]

Gortaur в сообщении #385884 писал(а):

Константа Липшица для $f(x,y) = \max(x,y)$ это $A=1$?

если метрики на области определения и области значений канонические, то надо заметить, что $|AB|$ и $|f(A)f(B)|$ инвариантны относительно сдвигов, поэтому можно считать $B$ началом координат.

[Gortaur]

Спасибо. Верно ли я понял, что $A=1$? По поводу остальной части вопроса есть идеи?