Асимптотическое равентсво

[nevero]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с вопросом.
Необходимо доказать, что при $x \to +\infty$ верно асимптотическое равенство:

$\int_{x}^{+\infty}\frac{dt}{te^t} = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k} + O(\frac{1}{e^xx^{n+1}})$

Как вообще делать такие задания?

[ewert]

nevero в сообщении #385826 писал(а):

Как вообще делать такие задания?

Ну, наверное, многократными интегрированиями по частям. У Вас, собственно, есть интеграл до бесконечности от $t^{-1}e^{-t}$. После интегрирований по частям степень $t$ всё понижается, понижается, понижается...

[nevero]

Если проинтегрировать по частям получится следующее:

$\int_{x}^{+\infty}\frac{dt}{te^t} = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}(k-1)!}{e^xx^k} + (-1)^{n+1} \int_{x}^{+\infty}\frac{dt}{e^t t^{n+1}}$

Только я не пойму как избавиться от $e^x$ в знаменатели дроби и как перейти к асимптотической оценке?

[nevero]

Натолкните хотя бы на мысль, пожалуйста...

[bozhok]

Может, в ряд Тейлора?

[paha]

nevero в сообщении #385980 писал(а):

Натолкните хотя бы на мысль, пожалуйста...

а никак не избавиться... оно там есть. Ведь

$$ \int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}{\rm d}t}{t}\le \frac{1}{xe^x}, $$

поэтому без экспоненты никак.

Чтобы от интеграла избавиться действуйте стандартно -- проверьте определение $O$ (замените переменную в интеграле чтобы считать его по всей полуоси).

[nevero]

paha в сообщении #386003 писал(а):

$$ \int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}{\rm d}t}{t}\le \frac{1}{xe^x}, $$

Только как доказывается это неравенство? На чём основан этот способ?

[paha]

nevero в сообщении #386229 писал(а):

Только как доказывается это неравенство? На чём основан этот способ?

на здравом смысле

$$ \int_A|fg|\le\max\limits_{A}{|f|}\cdot\int_A|g| $$

[nevero]

nevero в сообщении #385862 писал(а):

Если проинтегрировать по частям получится следующее:

$\int_{x}^{+\infty}\frac{dt}{te^t} = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}(k-1)!}{e^xx^k} + (-1)^{n+1} \int_{x}^{+\infty}\frac{dt}{e^t t^{n+1}}$

Теперь всё понятно, за исключением того, что в сумме $\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}(k-1)!}{e^xx^k}$ в знаменателе стоит $e^x$, но в ответе его нет... Я как-то по частям не так интегрирую?

[nevero]

Получается, что в ответе ошибка или я что то упустил?

[ewert]

nevero в сообщении #386431 писал(а):

Получается, что в ответе ошибка или я что то упустил?

Если в ответе нет экспоненты, то это, естественно, ошибка -- ведь исходный-то интеграл в любом случае стремится к нулю именно экспоненциально.

[nevero]

У меня снова возник вопрос:
Для того, чтобы доказать исходное утверждение осталось доказать равенство $(-1)^{n+1}\int_x^{+\infty}\frac{dt}{e^tt^{n+1}} = O(\frac{1}{e^xx^{n+1}})$ при $x \to +\infty$.

Для этого предлагается оценка:
$\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}{\rm d}t}{t}\le \frac{1}{xe^x}$

Но так доказывается только то, что существует такая константа $C > 0$ (в данном случае 1), что $|(-1)^{n+1}\int_x^{+\infty}\frac{dt}{e^tt^{n+1}}| \le C|\frac{1}{e^xx^{n+1}}|$.
Для записи через О-большое нужно, чтобы они были одного порядка.

Откуда следует, что они одного порядка?

[paha]

nevero в сообщении #390312 писал(а):

Откуда следует, что они одного порядка?

определение O-большого

посмотрите в фихтенгольце, например

[nevero]

paha в сообщении #390332 писал(а):

определение O-большого

У нас определение вводится как предел отношения функций равен константе.

Соответственно преподаватель хочет получить решение именно в таком виде.

[paha]

nevero в сообщении #390337 писал(а):

У нас определение вводится как предел отношения функций равен константе.

это неправда... $\sin{x}=O(1)$ при $x\to+\infty$, хотя никакого предела нет... Ноль -- тоже константа... $f=o(g)\Rightarrow f=O(g)$