Непрерывность функции

[Gortaur]

Виктор Викторов в сообщении #385514 писал(а):

Gortaur в сообщении #385441 писал(а):

Какой же смысл имеют слова "функция f непрерывна"?

Функция $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт.

Функция это тройка объектов, Вы с этим согласны? Если да, то какие множества являются областью определения и областью значения функции $\frac{1}{x}$.

[moscwicz]

Виктор Викторов
Маленькая провокация, просто для внесения содержательности в беседу. Берем функцию $f(x)=0$ и рассматриваем ее как функцию $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. Прообраз открытого множества $(-1,1)$ это в точности замкнутое множество $[0,1]$. Функция $f$ не является непрерывной

[Виктор Викторов]

MaximVD!
Вы правы, как в этом:

MaximVD в сообщении #385523 писал(а):

По-моему образом множества $(-1;0) \cup (0,1) $ при отображении $y = \frac 1 x$ будет множество $ (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Полный прообраз $(-1;1)$ функции $y=\frac 1 x$ будет открытое множество $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

так и в этом вопросе.

MaximVD в сообщении #385523 писал(а):

Хотя это не очень важно. Важно, что прообраз является открытым множеством.

Только давайте добавим полный прообраз. Прообразов может быть много.

Gortaur в сообщении #385566 писал(а):

Функция это тройка объектов, Вы с этим согласны? Если да, то какие множества являются областью определения и областью значения функции $\frac{1}{x}$.

Да. Согласен. Функция $y = \frac 1 x$. Область определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область прибытия $(-\infty; +\infty)$. Множество значений $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

moscwicz в сообщении #385572 писал(а):

Берем функцию $f(x)=0$ и рассматриваем ее как функцию $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. Прообраз открытого множества $(-1,1)$ это в точности замкнутое множество $[0,1]$. Функция $f$ не является непрерывной

Очень хороший пример! Только не забудьте, что топология на $[0,1]$ индуцированная и в ней множество $[0,1]$ - открыто.

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов писал(а):

Полный прообраз каждого открытого множества числовой прямой функции $\frac{1}{x}$ открыт. В частности полный прообраз открытого множества $(-1; 1)$ функции $y=\frac 1 x$ открытое множество $(-1; 0)\cup(0; 1)$.

Чтобы говорить о полном прообразе $(-1,1),$ не помешало бы проверить область значения функции. $0 \in (-1,1), \quad f^{-1}(0)=?$

[maxmatem]

Виктор Викторов

Цитата:

Функция $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт.

Ну согласитесь, что это определение большей степенью со стороны топологии.
А как я понял ,топикстартёр хочет разобраться с определением с точки зрения анализа (через эпсилон дельту ....) .

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay в сообщении #385580 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Полный прообраз каждого открытого множества числовой прямой функции $\frac{1}{x}$ открыт. В частности полный прообраз открытого множества $(-1; 1)$ функции $y=\frac 1 x$ открытое множество $(-1; 0)\cup(0; 1)$.

Чтобы говорить о полном прообразе $(-1,1),$ не помешало бы проверить область значения функции. $0 \in (-1,1), \quad f^{-1}(0)=?$

Как заметил MaximVD, я проврался с полным прообразом $(-1;1)$. Полный прообраз $(-1;1)$ множество $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. А в Вашем намеке я не вижу ничего особенного. $f^{-1}(0)$ -- пустое множество. С Вашей точки зрения я не имею права спросить про полный прообраз множества $(-1;1)$? Функция $\frac{1}{x}$ не сюръективна на числовой прямой. Ну и что?

maxmatem в сообщении #385582 писал(а):

Виктор Викторов

Цитата:

Функция $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт.

Ну согласитесь, что это определение большей степенью со стороны топологии.
А как я понял ,топикстартёр хочет разобраться с определением с точки зрения анализа (через эпсилон дельту ....) .

maxmatem!

Сложная это ситуация. Не может быть функция разрывна в анализе и непрерывна в топологии. Нужно приводить школьную терминологию к общему знаменателю. Я бы сделал это так:
1. Функция $y=\frac 1 x$ непрерывна в каждой точке своей области определения.
2. В нуле функция $y=\frac 1 x$ не определена и поэтому нельзя ставить вопрос непрерывна функция в нуле или нет.
3. Давайте выясним можно ли доопределить в нуле $y=\frac 1 x$ так, чтобы эта новая доопределённая функция оказалась непрерывной (ответ в данном случае отрицательный).

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов писал(а):

Как заметил MaximVD, я проврался с полным прообразом $(-1;1)$. Полный прообраз $(-1;1)$ множество $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. А в Вашем намеке я не вижу ничего особенного. $f^{-1}(0)$ -- пустое множество. С Вашей точки зрения я не имею права спросить про полный прообраз множества $(-1;1)$? Функция $\frac{1}{x}$ не сюръективна на числовой прямой. Ну и что?

Любое утверждение можно назвать вопросом. Об этом надо только договориться.

Виктор Викторов писал(а):

Я бы сделал это так:
1. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
2. В нуле функция не определена и поэтому нельзя ставить вопрос непрерывна функция в нуле или нет.
3. Давайте выясним можно ли доопределить в нуле так, чтобы эта новая доопределённая функция оказалась непрерывной (ответ в данном случае отрицательный).

Давайте доопределим функцию $y = \frac 1 x$ в нуле как $y(0) = 1.$ Согласно пункта 3. эта функция непрерывной быть не может. (Или 1. 2. 3. - это опять вопросы?)

Укажите пожалуйста открытый интервал, прообраз которого не является открытым.

[Gortaur]

Виктор Викторов в сообщении #385579 писал(а):

Да. Согласен. Функция $y = \frac 1 x$. Область определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область прибытия $(-\infty; +\infty)$. Множество значений $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Отлично, но если мы говорим о функции $f(x)=\frac{1}{x}$. Вы говорите, что в таком случае можно пользоваться определением непрерывности функции без указания множества, на котором стоит вопрос о непрерывности.

Почему Вы утверждаете что область определения этой функции именно $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ а не $(0; +\infty)$? В первом случае по определению непрерывности, которое Вы предлагаете, получается, что функция $f$ не является непрерывной, во втором - является.

[MaximVD]

Gortaur в сообщении #385654 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #385579 писал(а):

Да. Согласен. Функция $y = \frac 1 x$. Область определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область прибытия $(-\infty; +\infty)$. Множество значений $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Отлично, но если мы говорим о функции $f(x)=\frac{1}{x}$. Вы говорите, что в таком случае можно пользоваться определением непрерывности функции без указания множества, на котором стоит вопрос о непрерывности.

Почему Вы утверждаете что область определения этой функции именно $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ а не $(0; +\infty)$? В первом случае по определению непрерывности, которое Вы предлагаете, получается, что функция $f$ не является непрерывной, во втором - является.

Функция $\frac 1 x$ является непрерывной, даже если в качестве области определения взять множество $(-\infty; 0) \cup (0; + \infty)$.
Поскольку любое открытое множество на вещественной прямой можно представить в виде объединения открытых интервалов, а полный прообраз объединения равен объединению полных прообразов, то достаточно доказать, что полный прообраз любого интервала при отображении $\frac 1 x$ будет открыт. Если интервал $(a; b) \subset (0; + \infty)$ или $(a; b) \subset (-\infty; 0)$, то, очевидно, что полный прообраз будет открыт. Если же $0 \in (a, b)$, то полным прообразом этого множества будет множество $(-\infty, \frac 1 a) \cup ( \frac 1 b; +\infty)$, которое открыто. Т.е. функция $\frac 1 x$ непрерывна, даже если считать её областью определения множество $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

[Gortaur]

Именно поэтому я говорю, что утверждения "функция $f=\frac{1}{x}$ непрерывна" не несет ответственности, так как не указано на каком множестве мы утверждаем что она непрерывна.

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay в сообщении #385618 писал(а):

Любое утверждение можно назвать вопросом. Об этом надо только договориться.

Не понял. Объясните.

Dan B-Yallay в сообщении #385618 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Я бы сделал это так:
1. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
2. В нуле функция не определена и поэтому нельзя ставить вопрос непрерывна функция в нуле или нет.
3. Давайте выясним можно ли доопределить в нуле так, чтобы эта новая доопределённая функция оказалась непрерывной (ответ в данном случае отрицательный).

Давайте доопределим функцию $y = \frac 1 x$ в нуле как $y(0) = 1.$ Согласно пункта 3. эта функция непрерывной быть не может. (Или 1. 2. 3. - это опять вопросы?)

Укажите пожалуйста открытый интервал, прообраз которого не является открытым.

Пожалуйста. Возьмем открытый интервал $(-1; 2)$ его полный прообраз $(-\infty; -1)\cup \left\{0 \right\} \cup (\frac 1 2; +\infty)$.

Gortaur в сообщении #385654 писал(а):

Отлично, но если мы говорим о функции $f(x)=\frac{1}{x}$. Вы говорите, что в таком случае можно пользоваться определением непрерывности функции без указания множества, на котором стоит вопрос о непрерывности.

Я никогда ничего подобного не говорил.

Gortaur в сообщении #385654 писал(а):

Почему Вы утверждаете что область определения этой функции именно $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ а не $(0; +\infty)$? В первом случае по определению непрерывности, которое Вы предлагаете, получается, что функция $f$ не является непрерывной, во втором - является.

Я не утверждаю, что $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ единственная область определения функции $f(x)=\frac{1}{x}$, но это её естественная область определения. Можно рассматривать $f(x)=\frac{1}{x}$ и на $(0; +\infty)$. Я утверждаю, что на каждой из этих областей определения функция $f(x)=\frac{1}{x}$ непрерывна.

-- Пт дек 10, 2010 07:31:01 --

Gortaur в сообщении #385687 писал(а):

Именно поэтому я говорю, что утверждения "функция $f=\frac{1}{x}$ непрерывна" не несет ответственности, так как не указано на каком множестве мы утверждаем что она непрерывна.

Когда область определения не указана явно, то имеется в виду естественная область определения. Функция не может рассматриваться без области определения.

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов писал(а):

Пожалуйста. Возьмем открытый интервал $(-1; 2)$ его полный прообраз $(-\infty; -1)\cup \left\{0 \right\} \cup (\frac 1 2; +\infty)$.

Наши мнения в этом совпали.

Как насчет функции $y = \tan x$? Является ли она непрерывной с точки зрения определения "Функция непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт."?

(Оффтоп)

Ничего не имею против топологии

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay в сообщении #385758 писал(а):

Как насчет функции $y = \tan x$? Является ли она непрерывной с точки зрения определения "Функция непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт."?

Конечно, является.

[Dan B-Yallay]

На всей числовой прямой?

[bozhok]

Dan B-Yallay в сообщении #385780 писал(а):

На всей числовой прямой?

В своей области определения, конечно же.