Непрерывность функции

[Vindex]

Здравствуйте. Я пытаюсь разобраться в том что такое непрерывность функции, но почему то ничего не могу понять! Я знаю условия непрерывности:
1)функция определена в точке $x_0$ (это значит что точка $x_0$ принадлежит к области определения функции или что то еще?)
2)существует левые и правый пределы (при $x \to x_0$) от f(x) и они совпадают
3)предел равен значению функции в точке $x_0$

[caxap]

Непрерывность значит, что маленькому изменению аргумента соответствует маленькое изменение функции.

График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая ручки. (У "ненепрерывных" (= разрывных) функций имеются разрывы, напр. функция знака $\mathrm{sgn}$ имеет разрыв в точке $0$.)

[Vindex]

А каким методом (по каком алгоритму) можно исследовать функцию на непрерывность, найти эти промежутки непрерывности? я искал в интернете но конкретного алгоритма нет, еще и опечаток множество.

[Gortaur]

Ну, обычно для элементарных функций это уже доказано. Далее - остальные функции с которыми мы сталкиваемся это
1. композиция элементарных $f(g(x))$ - тогда используется свойство что композиция двух непрерывных функций непрерывна.
2. склейка $h(x) = f(x),x\in A$ и $h(x) = g(x),x\in B$
Здесь нужно считать пределы на границе и проверять, совпадают они или нет.

3. Интегралы, ряды и т.д. - либо все хорошо и можно применять подходящую теорему (типа сходимости), либо не очень хорошо в некоторых точках и там нужно опять напрямую считать предел.

Обычно вопросы непрерывности встают именно в особых точках, а не на всем промежутке - то есть про Вашу функцию вы знаете, что она непрерывна на $(a,b)$ и $(b,c)$ - и нужно проверить непрерывность в точке $b$ - тогда как я и написал выше, считаете односторонние пределы и сравниваете их.

Если есть дополнительный вопросы, давайте.
(естественно что я описал не все процедуры получения новых функций ))) )

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #385237 писал(а):

Непрерывность значит, что маленькому изменению аргумента соответствует маленькое изменение функции.

Это верно.

caxap в сообщении #385237 писал(а):

График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая ручки.

А здесь проблема. Функция $y=\frac 1 x$ непрерывна на всей своей области определения, но "нарисовать, не отрывая ручки" нельзя. В нуле $y=\frac 1 x$ не определена и вопроса о непрерывности в нуле нет. Напомню, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда каждый полный прообраз открытого множества открыт. Проверьте для $y=\frac 1 x$.

[Gortaur]

Вообще-то слова "функция непрерывна" не несут никакой ответственности - это может быть точное математическое утверждение (если оно окажется верно ) или неточное. А все потому, что неплохо бы указывать на каком множестве мы утверждаем что функция непрерывна. Для $\frac{1}{x}$ на строго положительной полупрямой всякий полный прообраз открытого множества открыт.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #385299 писал(а):

Напомню, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда каждый полный прообраз открытого множества открыт.

звучит красиво, но одолеть этим приемом что-нибудь вроде $\cos(1/x)$, доопределенную как-то в нуле намного сложнее, чем воспользоваться определением предела по Гейне

[Виктор Викторов]

Не надо вырывать фразу из контекста даже, если эта фраза определение непрерывности.

caxap в сообщении #385237 писал(а):

График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая ручки.

Это ошибка. И поэтому я написал:

Виктор Викторов в сообщении #385299 писал(а):

Функция $y=\frac 1 x$ непрерывна на всей своей области определения, но "нарисовать, не отрывая ручки" нельзя. В нуле $y=\frac 1 x$ не определена и вопроса о непрерывности в нуле нет. Напомню, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда каждый полный прообраз открытого множества открыт.

Добавлю, что полный прообраз открытого множества $(-1; 1)$ функции $y=\frac 1 x$ открытое множество $(-1; 0)\cup(0; 1)$. А вопрос каким из определений непрерывности удобнее воспользоваться при разборе того или иного случая, я просто не рассматривал.

Gortaur в сообщении #385307 писал(а):

Вообще-то слова "функция непрерывна" не несут никакой ответственности - это может быть точное математическое утверждение (если оно окажется верно ) или неточное.

Нет Вы ошибаетесь. Слова "функция непрерывна" имеют точный смысл.

Gortaur в сообщении #385307 писал(а):

Для $\frac{1}{x}$ на строго положительной полупрямой всякий полный прообраз открытого множества открыт.

Полный прообраз каждого открытого множества числовой прямой функции $\frac{1}{x}$ открыт. В частности полный прообраз открытого множества $(-1; 1)$ функции $y=\frac 1 x$ открытое множество $(-1; 0)\cup(0; 1)$.

[Mitrius_Math]

Vindex, скачайте книгу Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (часть 1). Там понятно написано об этом.

[мат-ламер]

Виктор Викторов в сообщении #385299 писал(а):

caxap в сообщении #385237 писал(а):

Непрерывность значит, что маленькому изменению аргумента соответствует маленькое изменение функции.

Это верно.

Сомнительно. А если функция непрерывна, но не равномерно непрерывна?

[caxap]

мат-ламер, $\forall \varepsilon>0\ \exists..$, независимо от равномерности. Непрерывность -- локальное свойство.

[Виктор Викторов]

мат-ламер в сообщении #385404 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #385299 писал(а):

caxap в сообщении #385237 писал(а):

Непрерывность значит, что маленькому изменению аргумента соответствует маленькое изменение функции.

Это верно.

Сомнительно. А если функция непрерывна, но не равномерно непрерывна?

Это же грубость. И, грубо говоря, это так.

[Gortaur]

Виктор Викторов в сообщении #385352 писал(а):

Gortaur в сообщении #385307 писал(а):

Вообще-то слова "функция непрерывна" не несут никакой ответственности - это может быть точное математическое утверждение (если оно окажется верно ) или неточное.

Нет Вы ошибаетесь. Слова "функция непрерывна" имеют точный смысл.

Какой же смысл имеют слова "функция f непрерывна"?

[Виктор Викторов]

Gortaur в сообщении #385441 писал(а):

Какой же смысл имеют слова "функция f непрерывна"?

Функция $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда полный прообраз каждого открытого множества открыт.

[MaximVD]

Виктор Викторов в сообщении #385352 писал(а):

В частности полный прообраз открытого множества $(-1; 1)$ функции $y=\frac 1 x$ открытое множество $(-1; 0)\cup(0; 1)$.

По-моему образом множества $(-1;0) \cup (0,1) $ при отображении $y = \frac 1 x$ будет множество $ (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Полный прообраз $(-1;1)$ функции $y=\frac 1 x$ будет открытое множество $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Хотя это не очень важно. Важно, что прообраз является открытым множеством.