Задачки по квадратичным вычетам

[leshaved]

Помогите, пожалуйста, разобраться в решении следующих задач:
1. Пускай $n$ - простое, $\alpha$ - образующая группы $Z^*_n$, в которой содержатся ненулевые элементы, взаимно простые с $n$.
Доказать следующий критерий:
$a$ - квадратичный вычет тогда и только тогда, когда $a = \alpha^{2i\ mod\ n}$

Например, сразу приходит в голову использование критерия Эйлера, однако каким образом из него следует существование $і$? И как использовать то, что $\alpha$ - образующая?

2. Если $n=p^{\alpha_1}_1*p^{\alpha_2}_2*...*p^{\alpha_n}_n, a \in Q_n, \forall i НСД(a,i)=1$, то $a$ имеет $2^k$ квадратных корней.

Тут вообще не пойму толком условие: получается, для любого квадратного вычета число корней одинаково, однако есть контрпирмеры. Возможно, вместо $2^k$ должна быть двойка в другой степени: но в какой?

Заранее спасибо.Буду также благодарен за ссылки на хорошую литературу по квадратным вычетам.

[mkot]

Первая следует просто из определений квадратичных вычетов и образующих элементов.
Например в одну сторону: $a$ -- кв. вычет => найдётся что-то там, а по определнию образующего это что-то там равно ему в какой-нибудь степени, откуда что-нибудь и получается.

Вторую сходу не придумаю, но можно попытаться прикрутить китайскую теорему об остатках.

[leshaved]

Спасибо за первую задачу, разобрался. Правда, в условии допустил ошибку, поэтому стало проще.
А со второй всё ещё не ясно(

[neo66]

Чтобы было ясно, напишите правильное условие. А то, пока, бред какой-то.

[leshaved]

Забыл поставить "и если" перед квантором всеобщности.

[neo66]

Там у вас еще описки. А кроме того, что такое $ Q_n$?

[leshaved]

Множество квадратных вычетов.

[neo66]

leshaved в сообщении #383907 писал(а):

2. Если $n=p^{\alpha_1}_1*p^{\alpha_2}_2*...*p^{\alpha_m}_m, a \in Q_n$ и если $\forall i НСД(a,i)=1$, то $a$ имеет $2^k$ квадратных корней.

Опять что-то странное: если $\forall i (a,i)=1$, то $a=1$.