Мотоциклист и светофоры

[Mitrofanich]

Вдоль дороги расставлены светофоры на расстоянии 1 км друг от друга. В течение 1 минуты с начала каждого часа на них загорается красный свет, запрещая проезд, а остальное время горит зеленый свет. Мотоциклист начинает движение с постоянной скоростью у светофора, на котором только что загорелся красный свет и за 10 часов пути ни разу не встретил красного света (ни разу не затормозил). Какое наибольшее расстояние он мог проехать за это время? Ответ округлите до целого числа метров.

[Утундрий]

Задача сводится к построению множества

$$\[ \bigcup\limits_{i = 0}^\infty {\bigcup\limits_{j = 1}^9 {\left[ {\frac{j} {{i + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {60}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {60}}}};\frac{j} {i}} \right]} } \] $$

[TOTAL]

Скорость мотоциклиста равна $3600/61$ км в час.

[Xenia1996]

Mitrofanich в сообщении #384013 писал(а):

Вдоль дороги расставлены светофоры на расстоянии 1 км друг от друга. В течение 1 минуты с начала каждого часа на них загорается красный свет, запрещая проезд, а остальное время горит зеленый свет. Мотоциклист начинает движение с постоянной скоростью у светофора, на котором только что загорелся красный свет и за 10 часов пути ни разу не встретил красного света (ни разу не затормозил). Какое наибольшее расстояние он мог проехать за это время? Ответ округлите до целого числа метров.

Нехорошо задачи с "Диофанта" тырить, ой как нехорошо!
http://diofant.ru/problem/1542/

-- Пн дек 06, 2010 10:56:27 --

TOTAL в сообщении #384179 писал(а):

Скорость мотоциклиста равна $3600/61$ км в час.

Подумайте ещё

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #384196 писал(а):

TOTAL в сообщении #384179 писал(а):

Скорость мотоциклиста равна $3600/61$ км в час.

Подумайте ещё

Скорость мотоциклиста равна $60*591/601$ км в час. Теперь отгадал?

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #384214 писал(а):

Скорость мотоциклиста равна $60*591/601$ км в час. Теперь отгадал?

Нэт А Вы не гадайте, подумайте.
На "Диофанте" я эту задачу решила, но здесь ответ дать не имею морального права. Подло будет.

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #384219 писал(а):

TOTAL в сообщении #384214 писал(а):

Скорость мотоциклиста равна $60*591/601$ км в час. Теперь отгадал?

Нэт А Вы не гадайте, подумайте.
На "Диофанте" я эту задачу решила, но здесь ответ дать не имею морального права. Подло будет.

$60*532/541$ км в час. Теперь?

[Xenia1996]

TOTAL в сообщении #384223 писал(а):

$60*532/541$ км в час. Теперь?

(Шантаж?)

Да . Только там не о скорости спрашивалось.

[Утундрий]

Будь у меня к тому охота, я бы заметил с какого момента интервальчики "слипаются", что дало бы мне первую оценку TOTAL-а. А дальше надо было бы нудно рыться руками бллизи оной, в поисках просвета... Есть, может быть, какой-то более изящный способ?

[caxap]

Я решал так: чтобы пересечь первый километр, не остановившись на светофоре, скорость $v$ должна быть меньше 1 км/мин. Пусть $v$ чуууточтку меньше 1. Тогда к 60-й минуте мотоциклист проедет чуть меньше 60 км, а к 61 -- чуть меньше 61 км. То есть на 60-й секунде, когда горит красный светофор, мотоциклист пересекает перекрёсток. Чтобы избежать этого, должно быть $61v\le 60\iff v\le \frac{60}{61}$. Далее по аналогии. При скорости $\frac{60}{61}$ мотоциклист на 120-й минуте проедет $<119$ км, а на 121-й -- $>119$. Но в это время горит красный свет и пересекать 119-й километр нельзя, т. е. $121v\le 119\iff v\le\frac{119}{121}$. Ну а дальше можно просто заметить закономерность в $\frac{119}{121}$, $\frac{178}{181}$, $\frac{237}{241}$ и в итоге получить $v\le \frac{532}{541}=v_{\mathrm{max}}$.

[Утундрий]

Кстати, интересно бы пошевелить время горения красного света и посмотреть как от него зависит множество запретных скоростей.

[Утундрий]

Как оказалось, ничего интересного: всегда можно ужаться по скорости так, чтобы укатиться сколь угодно далеко.

[Утундрий]

Вот для некоторых других длительностей мигания:

$\[ \begin{array}{*{20}c} {\tau ,[\min ]} & {v_{\max } ,[\operatorname{km} /h]} \\ 1 & {{{{\text{31920}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{31920}}} {{\text{541}}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{\text{541}}}}} \\ 2 & {{{{\text{7860}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{7860}}} {{\text{271}}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{\text{271}}}}} \\ 3 & {{{{\text{3440}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{3440}}} {{\text{181}}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{\text{181}}}}} \\ 5 & {{{{\text{1200}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{1200}}} {{\text{109}}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{\text{109}}}}} \\ {59} & {{{{\text{600}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{600}}} {{\text{599}}}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {{\text{599}}}}} \\ \end{array} \] $